2022届安徽省滁州市、马鞍山市高三第二次教学质量检测数学（文理）试题及参考答案

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2022年高三第二次教学质量监测理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B． 2．A． 3．D． 4．C． 5．C． 6．A．7．B． 8．A． 9．C． 10．D． 11．B． 12．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．． 14．． 15．． 16．．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。17．【解析】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为．（1分）所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．（3分）所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为．（5分）（2）由题意知，的可能取值．（6分）由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布．（7分）；；；．所以的分布列为0123．（12分）18．【解析】选①：（1）因为，所以，又，，所以，所以，所以．（6分）（2）由余弦定理可得，，所以．所以，由，所以．因为，所以．（12分）选②：（1）因为，，所以由正弦定理可得，所以，，由正弦定理可得，所以，由余弦定理可得，，由，所以，所以．（6分）（2）因为，所以．（12分）选③：（1）因为，所以，由，，所以，．由余弦定理可得，，．所以．（6分）（2）因为，所以．（12分） 19．【解析】（1）取中点，连接．因为是等腰三角形，所以，．因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（6分）（2）连接交于，取中点，连接，所以．因为平面，所以平面，因为平面，所以，，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，则，令，得，又平面的法向量为．设二面角的大小为，则，．所以二面角的正弦值为．（12分） 20．【解析】（1）联立直线与抛物线的方程得，由题意，，解得，所以抛物线的方程为．（4分）（2）依题意设直线，与抛物线的方程联立，得．由得，由韦达定理可知，线段的中点的纵坐标，横坐标．由于点在轴上且，所以为线段的中点，故，从而点的坐标为，点的横坐标．于是，的面积，因为，所以面积的取值范围是．（12分） 21．【解析】（1），令得．因为，所以，当时，；当时，．故函数的单调增区间为，单调减区间为．（4分）（2）（i）法一：因为各项均为正整数，即，故．于是，又，所以，由题意为整数，因此只能，即．（8分）（i）法二：由题，，因为各项均为正整数，即，故，于是且．由题意为整数，因此只能，即．（8分）（ii）法一：由，得，．原不等式．由（1）知时，，取得．因此只需证：，即证明．记，则．；；当时，．故原不等式成立．（12分）（ii）法二：由，得，．原不等式．由（1）知时，，取得．因此只需证：，即证明．；；当时，，故，即．当时，．故原不等式成立．（12分）（其它合理证明方法，请酌情给分） 22．【解析】（1）曲线的极坐标方程：，得：，由，得曲线的直角坐标方程：．由直线：，得：，联立，解得：，所以定点的极坐标为．（5分）（2）由（1）得，曲线：，圆心，半径，由，得圆心到直线的距离．当直线的斜率不存在时，，经检验满足题意；当直线的斜率存在时，设，即：.，直线的方程为:．所以，直线的方程：或．（10分） 23．【解析】（1），故解得，，所以不等式的解集．（5分）（2）由（1），，当且仅当时，即时取等号．（10分）