2021-2022学年安徽省滁州市定远县吴圩片九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县吴圩片九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 相反数的是

A.  B.  C.  D.

2. 我省地处江、淮、沂沭泗流域下游和南北气候过渡带，滨江临海，河湖众多，地表水资源量达亿立方米，其中“亿”用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图，由个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的俯视图为

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 年张掖市政府投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计年投资亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为，根据题意，列出方程为

A.  B.
C.  D.

6. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7. 若关于的一元二次方程有实数根，，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数图象上、两点关于原点对称，若经过点的反比例函数的解析式是，则该二次函数的对称轴是直线

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 计算：______．
12. 把多项式因式分解，最后结果等于______ ．
13. 如图，是半圆的直径，，，，，则半圆的直径是______．
14. 已知抛物线为常数，且，当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
16. 如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，把绕点逆时针旋转后得到
    画出，直接写出点，的坐标；
    求在旋转过程中，所扫过的面积．

17. 已知关于、的方程组中，为非负数、为负数．
    试求的取值范围；
    当取何整数时，不等式的解集为．
    
    
    
    
    
    
     
18. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．这本书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”用现代白话文可以这样理解：甲口袋中装有黄金枚每枚黄金重量相同，乙口袋中装有白银枚每枚白银重量相同，用称分别称这两个口袋的重量，它们的重量相等．若从甲口袋中拿出枚黄金放入乙口袋中，乙口袋中拿出枚白银放入甲口袋中，则甲口袋的重量比乙口袋的重量轻了两袋子重量忽略不计问一枚黄金和一枚白银分别重多少两？请根据题意列方程组解之．
    
    
    
    
    
    
     
19. 观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成个小三角形，挖去中间的一个小三角形如图，对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，，据此解答下面的问题．
    
    填写下表：

根据这个规律，求图中挖去三角形的个数；用含的代数式表示
若图中挖去三角形的个数为，求．






 

20. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点，连接，，
    
    当时，求的度数；
    若，，求的半径．
    
    
    
    
    
    
     
21. 劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩百分制，制成不完整的统计图表：
    表一

表二

根据以上信息回答下列问题．
若抽取的学生成绩处在这一组的数据如下：根据以上数据填空： ______ ； ______ ．
在扇形统计图中，表示问卷成绩在这一组的扇形圆心角度数为______ ．
已知该校八年级共有学生名若将成绩不少于分的学生称为“劳动达人”，请你估计该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人”．

22. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于，两点，经过，两点的抛物线与轴的正半轴相交于点．
    求抛物线的解析式；
    若为线段上一点，，求的长；
    在的条件下，设是轴上一点，试问：抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知四边形是矩形，点在上，，与相交于点，且．
    连接，求证：∽；
    如图，连接并延长交于点，求的度数；
    若，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：将亿用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：俯视图如选项D所示，
故选：．
根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式的运算法则判断，根据同底数幂的除法和合并同类项的运算法则判断，根据积的乘方与幂的乘方运算法则判断，根据同底数幂的乘法运算法则判断．
本题考查整式的运算，掌握同底数幂的乘法底数不变，指数相加，同底数幂的除法底数不变，指数相减，幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设每年的增长率为，根据题意得，
故选A．
如果设每年市政府投资的增长率为，则可以根据“年张掖市政府投资亿元人民币建设了廉租房万平方米，预计年投资亿元人民币建设廉租房”作为相等关系得到方程．
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，
的值在整数和之间．
故选C．
利用算术平方根的性质，得出，进而得出答案．
此题主要考查了估计无理数的大小，得出是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
关于的一元二次方程有实数根，，且，
，
解得：，
故选：．
先整理方程，根据方程有实数根和得出，求出即可．
本题考查了很的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

8.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，

在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
故选：．
过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在反比例函数图象上，
可设点坐标为，
、两点关于原点对称，
点坐标为，
又、两点在二次函数图象上，
代入二次函数解析式可得，
解得或，
二次函数对称轴为，
故选：．
设点坐标为，则可求得点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于和的方程组，可求得的值，则可求得二次函数的对称轴．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得的值是解题的关键，注意关于原点对称的两点的坐标的关系的广用．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接，

旋转角，，
在对角线上，
，
在中，，
，
在等腰中，，
在直角三角形中，，
，
四边形的周长是：，
故选：．
由边长为的正方形绕点逆时针旋转度后得到正方形，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，，从而可求四边形的周长．
本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
 

11.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则：进行计算即可．
此题主要考查了二次根式的乘法，关键是掌握计算公式．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，，
；
，
；
，
．
，
，
直径，
故答案为：．
在等腰中，顶角，易求得；根据等边对等角，可得：，由此可得，，即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
当时，
为函数最大值，
解得，
将代入，
当时，时，取最大值，即，
解得，不符合题意，舍去，
将代入，
当时，时，取最大值，即，
解得不符合题意，舍去，不符合题意，舍去，
综上所述或，
故答案为：或．
根据二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论抛物线顶点纵坐标为函数最大值，或时取最大值．
本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
 

15.【答案】解：


；



，
当时，原式．
 

【解析】根据绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂可以解答本题；
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、绝对值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：，，如图，为所作；

，，，，
所以所扫过的面积．
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、点的对应点、得到，然后写出点，的坐标；
所扫过的面积是扇形面积与面积之和，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

17.【答案】解：，
得：，，
得：，，
为非负数、为负数，
，解得：；
，
，
不等式的解为，
，
，
由得：，
，
整数，
；
即当时，不等式的解为．
 

【解析】把看作常数，解方程组，根据为非负数、为负数，列不等式组解出即可；
根据不等式的解为，求出的取值范围，综合即可解答．
本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解决本题的关键是求出方程组的解集，同时学会利用参数解决问题．
 

18.【答案】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，
由题意得，
解得，
答：每枚黄金重两，每枚白银重两
 

【解析】设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意列出方程组即可求出答案．
本题考查二元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：；
由知，图中挖去三角形的个数；
，

．
 

【解析】

【分析】
本题考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
由图挖去中间的个小三角形，图挖去中间的个小三角形，图挖去中间的个小三角形，据此可得；
由中规律可知；
将减去即可得．
【解答】
解：图挖去中间的个小三角形，
图挖去中间的个小三角形，
图挖去中间的个小三角形，
则图挖去中间的个小三角形，即图挖去中间的个小三角形，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：，
，
，
，
，
在中，；
是的直径，且于点，
，
在中，，
设的半径为，则，，
，
解得：，
的半径为．
 

【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
由，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
由弦与直径垂直，利用垂径定理得到为的中点，求出的长，在直角三角形中，设圆的半径，，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到圆的半径的值．
 

21.【答案】   
 

【解析】解：本次抽取的学生有：人，
，
这一组的数据按照从小到大排列是：，，，，，，，，
，
故答案为：，；
问卷成绩在这一组的扇形圆心角度数为：，
故答案为：；
名，
即估计该校八年级一共有名学生是“劳动达人”．
根据这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出和的值；
根据统计图中的数据，可以计算出问卷成绩在这一组的扇形圆心角度数；
根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人”．
本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：由题意抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为．
对于抛物线，令，解得或，
，
，，
，，
，，
∽，
，
，
．
由可知，，，

当为平行四边形的边时，点的横坐标为或，
，
当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．
 

【解析】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
利用待定系数法解决问题即可．
求出，，，利用相似三角形的性质求解即可．
分两种情形：为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可解决问题．当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为，求出点的坐标即可解决问题．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，，
，
，
∽，
，
，
∽；
解：连接，
∽，
，
，
，，
，
，
；
解：四边形是矩形，
，，
，
，
∽，
，
设的长为，则，
，
解得，舍去，
的长为．
 

【解析】利用四边形是矩形，，证明∽，得到，进而可证得∽；
利用中结论可得，则，进而可得；
利用四边形是矩形，，证明∽，可得，设的长为，则，即可求得．
本题主要考查相似三角形的判定与性质和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，会对角与角之间进行相互转换．