备战中考初中数学导练学案50讲—第07讲分式与分式方程（讲练版）

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备战中考初中数学导练学案50讲
第07讲 分式与分式方程
【疑难点拨】
1. 分式运算是分式中的重要内容，可以部分同学，在学习分式运算时常得一些“疾病”，现分类列出，并逐一诊治，供同学们参考：
（1）忽视分数线的括号作用：运算中加法转变成减法，减式的分子是一个多项式，而后面进行运算时没有注意到分数线的括号作用，所以出错；
（2）通分时去分母：分式通分是等值变形，不能和解方程时去分母的同解变形，两者不能混淆.
（3）忽视运算顺序：[乘、除法运算应从左到右按顺序进行，本例解法违反了这一运算顺序.；
（4）生搬硬套运算律：乘法对加法的分配律为a(b+c)=ab+ac，但除法对加法没有分配律.
2. 大家都知道在解可化为 一元一次方程的分式方程时，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，要注意以下几个方面，供同学们学习时参考．
（1）要注意检验：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验．
（2）要注意失根：去分母时，方程两边同除以（3x+1）容易造成失误，注意解方程不能同除以含未知数的整式．
（3）注意易漏乘：去分母时，右边的整式项“4”容易漏乘公分母（x-5），因此导致错误．
（4）注意易错符号：去分母时易变号出错；
（5）情绪焦虑思维受阻而失误：有的学生见到分式方程时往往急于去分母，从而使计算繁杂，此时，会产生焦虑情绪，无法继续完成．
3. 在中考分式方程这部分内容中，常常出现与字母系数有关的一些问题．现归纳如下，供同学们参考．
（1）利用“无解”求字母系数：在解分式方程时，可能产生使最简公分母为零的“解”，我们称方程“无解” ．无解并非无用，有时会出现根据方程无解求字母系数的题目．解决方法是：先将分式方程去分母化为整式方程，再把使最简公分母为零的“解”代入，求出字母系数即可．
(2根据解的情况确定字母系数的取值范围:有时题目会告知分式方程解的正负情况，而让我们去确定字母系数的取值范围．解决方法是：先解分式方程，表示出方程的“解”，然后根据解的情况列出不等式，解之即可．但必须注意：使原分式方程无解的字母系数的值，应舍去．
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖北省武汉·3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2
2. （2018•江西•3分）计算(-a)2▪ba2 的结果为
A. B.-b C. ab D.
3. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 若分式的值为0，则的值是（ ）
A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 0
4. （2018•四川成都•3分）分式方程 的解是（  ）
A. x=1     B.    C.       D. 
5. （2018•北京•2分） 如果，那么代数式的值为
A． B． C． D．
二、填空题：
6. （2018·广东广州·3分）方程 的解是________
7. （2018·四川自贡·4分）化简+结果是　　．
8. （2018·浙江舟山·4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10％，若设甲每小时检x个，则根据题意，可列出方程：________。
三、解答与计算题：
9.(1)（2018•四川凉州•7分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：（1+）．


(2) （2018•山西•5分）（ 2）





10. （2018•山东菏泽•7分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？




【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东淄博•4分）化简的结果为（　　）
A． B．a﹣1 C．a D．1
12. （2018·湖北省孝感·3分）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（　　）
A．48 B．12 C．16 D．12
13. （2018•山东淄博•4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：
14. (2018四川省眉山市1分 ) 已知关于x的分式方程 －2= 有一个正数解，则k的取值范围为________.
15. （2018·山东潍坊·3分）当m=　 　时，解分式方程=会出现增根．
三、解答与计算题：
16. （2018•山东菏泽•6分）先化简再求值（﹣y）÷﹣（x﹣2y）（x+y），其中x=﹣1，y=2．


17. （2018·广西梧州·10分）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A.B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．
（1）求A.B两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？









18. （2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？








【探究篇】
19. （2018·山东泰安·9分）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）








20. （2018·湖北省孝感·10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．
（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
























第07讲 分式与分式方程
【疑难点拨】
1. 分式运算是分式中的重要内容，可以部分同学，在学习分式运算时常得一些“疾病”，现分类列出，并逐一诊治，供同学们参考：
（1）忽视分数线的括号作用：运算中加法转变成减法，减式的分子是一个多项式，而后面进行运算时没有注意到分数线的括号作用，所以出错；
（2）通分时去分母：分式通分是等值变形，不能和解方程时去分母的同解变形，两者不能混淆.
（3）忽视运算顺序：[乘、除法运算应从左到右按顺序进行，本例解法违反了这一运算顺序.；
（4）生搬硬套运算律：乘法对加法的分配律为a(b+c)=ab+ac，但除法对加法没有分配律.
2. 大家都知道在解可化为 一元一次方程的分式方程时，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，要注意以下几个方面，供同学们学习时参考．
（1）要注意检验：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验．
（2）要注意失根：去分母时，方程两边同除以（3x+1）容易造成失误，注意解方程不能同除以含未知数的整式．
（3）注意易漏乘：去分母时，右边的整式项“4”容易漏乘公分母（x-5），因此导致错误．
（4）注意易错符号：去分母时易变号出错；
（5）情绪焦虑思维受阻而失误：有的学生见到分式方程时往往急于去分母，从而使计算繁杂，此时，会产生焦虑情绪，无法继续完成．
3. 在中考分式方程这部分内容中，常常出现与字母系数有关的一些问题．现归纳如下，供同学们参考．
（1）利用“无解”求字母系数：在解分式方程时，可能产生使最简公分母为零的“解”，我们称方程“无解” ．无解并非无用，有时会出现根据方程无解求字母系数的题目．解决方法是：先将分式方程去分母化为整式方程，再把使最简公分母为零的“解”代入，求出字母系数即可．
(2根据解的情况确定字母系数的取值范围:有时题目会告知分式方程解的正负情况，而让我们去确定字母系数的取值范围．解决方法是：先解分式方程，表示出方程的“解”，然后根据解的情况列出不等式，解之即可．但必须注意：使原分式方程无解的字母系数的值，应舍去．
【基础篇】
【基础篇】
一、选择题：
1. （2018·湖北省武汉·3分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2. （2018•江西•3分）计算(-a)2▪ba2 的结果为
A. B.-b C. ab D.
【解析】 本题考察代数式的乘法运算，容易，注意(-a)2=a2 ,约分后值为.
【答案】 A
3. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分） 若分式的值为0，则的值是（ ）
A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 0
【答案】A
【解析】【分析】分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.
【解答】根据分式有意义的条件得：

解得：
故选A.
【点评】考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.
4. （2018•四川成都•3分）分式方程 的解是（  ）
A. x=1     B.    C.       D. 
【答案】A
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2）
x2-x-2+x=x2-2x
解之：x=1
经检验：x=1是原方程的根。
故答案为：A
【分析】方程两边同时乘以x（x-2），将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可求解。
5. （2018•北京•2分） 如果，那么代数式的值为
A． B． C． D．
【考点】分式化简求值，整体代入．
【答案】A
【解析】原式，∵，∴原式．
二、填空题：
6. （2018·广东广州·3分）方程 的解是________
【答案】x=2
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得：
x+6=4x
∴x=2.
经检验得x=2是原分式方程的解.
故答案为：2.
【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.
7. （2018·四川自贡·4分）化简+结果是　　．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=+
=
故答案为：
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．
8. （2018·浙江舟山·4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10％，若设甲每小时检x个，则根据题意，可列出方程：________。
【考点】列分式方程
【分析】若设甲每小时检x个，则乙每小时检测（x-20）个，甲检测300个的时间为,
乙检测200个所用的时间为，根据题意可得出方程.
【解答】解：设甲每小时检x个，则乙每小时检测（x-20）个，
甲检测300个的时间为,
乙检测200个所用的时间为
由等量关系可得
故答案为
【分析】根据实际问题列方程，找出列方程的等量关系式：甲检测300个的时间=乙检测200个所用的时间×（1-10%），分别用未知数x表示出各自的时间即可
三、解答与计算题：
9.(1)
（2018•四川凉州•7分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦!）代入求值：（1+）．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，再选取一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
【解答】解：（1+）
=
=，
当x=2时，原式==1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
(2) （2018•山西•5分）（ 2）
【考点】 分式化简
【解析】 解：原式 ===
10. （2018•山东菏泽•7分）列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，利用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程+=120，然后解分式方程即可．
【解答】解：设台式电脑的单价是x元，则笔记本电脑的单价为1.5x元，
根据题意得+=120，
解得x=2400，
经检验x=2400是原方程的解，
当x=2400时，1.5x=3600．
答：笔记本电脑和台式电脑的单价分别为3600元和2400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用：列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
【能力篇】
一、选择题：
11. （2018•山东淄博•4分）化简的结果为（　　）
A． B．a﹣1 C．a D．1
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=+
=
=a﹣1
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
12. （2018·湖北省孝感·3分）已知x+y=4，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是（　　）
A．48 B．12 C．16 D．12
【分析】先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：（x﹣y+）（x+y﹣）
=•
=•
=（x+y）（x﹣y），
当x+y=4，x﹣y=时，原式=4=12，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
13. （2018•山东淄博•4分）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣=30，即．
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象
二、填空题：
14. (2018四川省眉山市1分 ) 已知关于x的分式方程 －2= 有一个正数解，则k的取值范围为________.
【答案】k0且6-k≠3，
∴k