专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题02  一元二次方程根的判别式的六种用法【专题说明】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．一、 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根． 2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x＝3代入方程中，得9＋2m×3＋m2－1＝0，即m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1.∴m＋3＝±1.∴m1＝－2，m2＝－4.二、利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不论m为何值，(m－2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得x＝＝.∴x1＝，x2＝1.∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴m＝1或m＝2.又∵方程的两个根不相等，∴m≠2，∴m＝1.三、利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，即2m－1＝±4.∴m＝或m＝－.当m＝时，＝＝；当m＝－时，＝＝－. 四、利用根的判别式解与函数综合问题5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　)A．没有实数根  B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根  D．有两个相等的实数根A　点拨：∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴≠0.∴k－1>0，解得k>1.又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，∴Δ<0.∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.五、利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．[来源:Zxxk.Com]解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．六、利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．[来源:学科网](1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？解：(1)∵▱ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴Δ＝0，即m2－4＝m2－2m＋1＝0，∴m＝1.此时原方程为x2－x＋＝0，∴x1＝x2＝，∴当m＝1时，▱ABCD是菱形，菱形ABCD的边长为.(2)∵AB＝2，∴将x＝2代入原方程得4－2m＋－＝0，解得m＝，　故原方程为x2－x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝，∴AD＝.故▱ABCD的周长为2×＝5.