第十一讲 充分必要条件-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十一讲：充分必要条件【学习目标】1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明． 【基础知识】知识点：充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．  【考点剖析】考点一：充要条件的判断例1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】当时，得；当时，得，所以“”是“”的充要条件，故选：C． 变式训练1：命题 ，命题（其中），那么是的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若，则，所以命题可以得出命题成立，若则，即，所以所以命题可以得出命题成立，所以是的充要条件，故选：C 变式训练2：设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】由可得，解得，又命题甲为：，所以甲是乙的充要条件，故选：C. 变式训练3：“”是“一元二次方程无实数根”的（   ） A．充分不必要条件  B．充要条件 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若一元二次方程无实数根，则，解得；反之若，则，则一元二次方程无实数根.所以“”是“一元二次方程无实数根”的充要条件.故选：B 考点二：充要条件的证明例2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．【答案】证明见解析【详解】证明（充分性）∵，∴∴（必要性）∵，∴∴即，∴，得证． 变式训练1：设，求证：的充要条件是.【答案】证明见解析【详解】充分性：若，∵，∴，即；必要性：若，∵，∴，即.所以的充要条件是. 变式训练2：求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.【答案】证明见解析【详解】设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分；所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. 变式训练3：已知一元二次方程.（1）若是方程的两个根，求的值；（2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”.【答案】（1）0；（2）证明见解析.【详解】（1）由题得，所以；（2）先证明充分性：当时，或，所以是方程的一个根，所以充分性成立；再证明必要性：当是方程的一个根时，.所以必要性成立.所以“是方程的一个根”的充要条件是“”. 考点三：充要条件的应用（一）例3．方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为（   ） A．或  B．或 C．或  D．或【答案】A【详解】若方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素，当时，，符合题意；当时，由方程有实根，得到，解得；若，则方程有且仅有一个实根，符合题意；若且，方程有两个不等实根，设这两个实根分别为，，若方程的解集中有且最多有一个负实数元素，则，即；当或时，关于的方程的解集中有且最多有一个负实数元素；综上方程的非空解集中有且最多有一个负实数元素的充要条件为或.故选：A. 变式训练1：三个数不全为零的充要条件是（   ） A．都不是零  B．中至多一个是零 C．中只有一个为零 D．中至少一个不是零【答案】D【详解】主要考查充要条件的概念及其判定方法．三个数不全为零的充要条件是中至少一个不是零．选D. 变式训练2：二次函数的值恒为正值的充要条件是（   ） A．  B． C． D．【答案】C【详解】解：二次函数的值恒为正值，则函数的图象开口向上，且与轴没有交点，即.故选：C. 变式训练3：函数的图象关于直线对称的充要条件是（   ） A． B． C． D．【答案】A【详解】当m=-2时，f(x)=x2-2x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即.所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.故选：A.  考点三：充要条件的应用（二）例3．已知，.（I）是否存在，使得是的充要条件？若存在，求的值，若不存在，请说明理由：（II）从下面三个条件中任选一个，求的取值范围.①是的必要条件；②是的充分条件；【答案】（I）不存在，理由见解析；（II）【详解】解：（I）由，解得：，若p是q的充要条件，则，即，此时方程组无解，即不存在，使p是q的充要条件；（II）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，若选①，p是q的必要条件，则，当时，，即成立；当时，且，解得：，综上所述：；若选择②，q是p的充分条件，则，当时，，即成立；当时，且，解得：，综上所述：； 变式训练1：已知命题，命题.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【详解】（1）集合，集合.因为是的充分条件，所以，∴集合可以分为或两种情况来讨论：当时，满足题意，此时，解得：；当时，要使成立，需满足，综上所得，实数的取值范围.（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，则必有，解得，综合得无解.故不存在实数，使得，即不存在实数，使得是的充要条件.  【当堂小结】1．知识清单：(1)充要条件概念的理解．(2)充要条件的证明．(3)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：条件和结论辨别不清．  【过关检测】1、“”是“”的（   ） A．必要不充分条件  B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件  D．充要条件【答案】D【详解】是两个集合，则“”可得“”，“”，可得“”.所以是两个集合，则“”是“”的充要条件.故选：D. 2、设为全集，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】因为为全集，若，则；若，则；所以“”是“”的充要条件.故选：C. 3、设，则是的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，成立，则成立，充分性成立；成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，成立，则成立，必要性成立；所以，是的充要条件故选C 4、已知：，：，则是的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】D【详解】：，，：，所以，且，所以是的充要条件.故选：D. 5、“”是“”成立的（   ） A．充要条件  B．充分非必要条件 C．必要非充分条件  D．既非充分也非必要条件【答案】A【详解】∵“不等式，不等式，∴两不等式解集相等，∴“”是“”成立的充要条件，故选A． 6、设是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，是的充分条件，那么是的（   ）条件. A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件  D．充分必要条件【答案】D【详解】因为是的充分条件，是的充要条件，所以是的充分条件，即成立.又因为是的必要条件，所以是的充分条件，即，因为t是r的充分条件，，所以，即是的充要条件.故选：D 7、“”是“二次函数的图象关于轴对称”的（   ） A．充要条件  B．充分不必要条件 C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】二次函数的图象关于y轴对称，二次函数的图象关于y轴对称,对称轴为所有二次函数的图象关于y轴对称，∴“”是“二次函数的图象关于y轴对称”的充要条件，故选：A. 8、有下述说法：①是的充要条件 ②是的充要条件 ③是的充要条件，则其中正确的说法有（   ） A．个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【详解】①，，如，，故①错误.②因为，所以，，故②错误.③因为，，如，，故③错误.故选：A 9、已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】，对任意的，，所以，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C. 10、已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由于,
,
,反之:当时,
,
,
,2,
,即
综上所述:“”是“”的充要条件，
故选：C. 11、成立的充要条件是（   ） A． B． C． D．或【答案】D【详解】解：因为，，，即，解得或，即，故成立的充要条件是“或”.故选： 12、若，都是正整数，则成立的充要条件是（   ） A．  B．，至少有一个为1 C．  D．且【答案】B【解析】,当时,不等式成立,故排除三个选项,所以选. 13、求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.【答案】证明见解析【详解】证明①充分性：如果，那么.当时，，所以一次函数的图象经过坐标原点.②必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，所以当时，，即，所以.综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是. 14、已知，求证：的充要条件是．注：．【答案】证明见解析.【详解】证明：先证必要性：∵，∴∴ 再证充分性：∵∴ 即： ∵，∴，即.综上所述：的充要条件是. 15、已知，求证：成立的充要条件是.【答案】证明见解析【详解】证明：（1）充分性（条件→结论）因为，而，所以成立；（2）必要性（结论→条件）因为，而，又，所以且，从而，且.所以，所以成立.综上：成立的充要条件是. 16、给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【详解】若选择①，即是的充分不必要条件，则且，，解得：，即实数的取值范围为.若选择②，即是的必要不充分条件，则.当时，，解得：；当时，，解得：，则，解得：，此时解集为；综上所述：实数的取值范围是.若选择③，即是的充要条件，则，不成立，则不存在实数，使是的充要条件. 17、在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充分必要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的存在，求的取值集合，若问题中的不存在，说明理由.问题：已知集合，集合，是否存在实数，使得是成立的______？【答案】答案不唯一，具体见解析【详解】若选①，则是的真子集所以且（两等号不同时取得），又解得所以存在，的取值集合若选②，则是的真子集所以且（两等号不同时取得），又解得所以存在，的取值集合若选③，则所以且又，方程组无解所以不存在满足条件的.