专题01 掌握三大技能，轻松解答数轴动态问题 2022年七年级数学寒假辅导讲义（人教版）

专题01 掌握三大技能，轻松解答数轴动态问题

【技能一】数轴上两点间的距离

如图，A、B表示的数为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；
当a，b的大小已知时，“大减小（右减左）”，不知大小时，“绝对值”（两数差的绝对值）.

【技能二】数轴上两点间中点表示的数

如图，C是AB的中点，则C表示的数x=；
理由：
AC=BC，则x－a=b－x，
∴x=.

【技能三】数轴上点移动规律

数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.
例：P从A出发，以2个单位/秒速度向右运动，t秒后达到的点表示的数为：a+2t.

数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.

考点一：求动点速度
例1.【2020·龙城期中】已知多项式的常数项是a，次数是b，且a，b两个数轴上所对应的点分别为A、B，若点A、点B同时沿数轴向正方向运动，点A的速度是点B的2倍，且3秒后，，点B的速度为 .
【答案】或.
【解析】解：由题意知a=-4，b=3，
设B点速度为x单位/秒，则A的速度为（2x）单位/秒，
3秒后，A点表示点为-4+3×2x=-4+6x，B点表示的数为3+3x，
∴OA=|-4+6x|，OB=3+3x，
∴|-4+6x|=3+3x，
解得：x=或x=
故答案为：或.
考点二：求动点运动时间
例2.【2020·江苏期中】我们知道：在数轴上，点M表示实数为a，点N表示实数为b，当 时，点M、N之间的距离记作：MN =；当时，点M、N之间的距离记作：MN =a-b，例如：， 则MN =．
如图，点A、B、C是数轴上从左向右依次排列的三点，且，，点B表示的数是．

（1）点A表示的数是 ，点C表示的数是 ；
（2）动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿数轴向右运动，速度为1个单位长度∕秒，点N沿数轴向左运动，速度为2个单位长度∕秒，运动t秒后：
①点M表示的数 ，点N表示的数 ；(用含t的代数式表示)
②求当t为何值时，点M、N、B三点中相邻两个点之间的距离相等．(M、N、B三点中任意两点不重合).
【答案】（1）-10， 5；（2）①-10+t，5-2t；②见解析.
【解析】解：（1）∵AC=15，BC=9，
∴AB=6，
∴点A表示的数为-4-6=-10，点C表示的数为-10+15=5．
故答案为：点A表示的数为-10，点C表示的数为5．
（2）设运动时间为t时，
①AM=t，点M表示的数为-10+t；CN=2t，点N表示的数为5-2t，
②分三种情况讨论：
当B为中点时，（-10+t）+（5-2t）=2×（-4），解得t=3；
当N为中点时，（-10+t）+（-4）=2×（5-2t），解得t=4.8；
当M为中点时，（5-2t） +（-4）=2×（-10+t），解得t=5.25；
综上所述，当t为3秒或4.8秒或5.25秒时，点M，N，B三点中相邻两个点之间的距离相等．
例3. 【2020·杭州月考】已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）若点到点、点的距离相等，则点对应的数为______．
（2）利用数轴探究：找出满足的的所有值是______．
（3）当点以每秒6个单位长的速度从点向右运动时，点以每秒6个单位长的速度向右运动，点以每秒钟5个单位长的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后点到点、点的距离相等？
【答案】（1）1；（2）-3或5；（3）2秒或4秒．
【解析】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等
∴x+1=3-x，解得x=1，
即点P表示的数为1.
（2）①当x>3时，
x-3+x+1=8，解得：x=5．
②当x