北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试随堂练习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或

2、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

3、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

4、下列说法中，不正确的是（    ）

A．四个角都相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形

C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

5、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是 （   ）

A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD

C．AD＝AE D．AE＝CE

6、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是（    ）

A．180° B．220° C．240° D．260°

7、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

8、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（    ）．

A．4 B．10 C．6 D．8

9、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

10、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长度为 _____．

2、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝30cm，将纸片对折后展开得到折痕EF．点P为BC边上任意一点，若将纸片沿着DP折叠，使点C恰好落在线段EF的三等分点上，则BC的长等于_________cm．

3、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____

4、若正边形的每个内角都等于120°，则这个正边形的边数为________．

5、若点P(m﹣1，5)与点Q(﹣3，n)关于原点成中心对称，则m﹣n的值是___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．

（1）判断四边形ABFC的形状并证明；

（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．

2、（探究发现）

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是　   　．

（类比应用）

（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．

（拓展延伸）

（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）作AB的垂直平分线l，交AB于点D，连接CD，分别作∠ADC，∠BDC的平分线，交AC，BC于点E，F（尺规作图，不写作法，保作图痕迹）；

（2）求证：四边形CEDF是矩形．

4、如图，的对角线与相交于点O，过点B作BPAC，过点C作CPBD，与相交于点P．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若将改为矩形，且，其他条件不变，求四边形的面积；

（3）要得到矩形，应满足的条件是_________（填上一个即可）．

5、如图，是的中位线，延长到，使，连接．

求证：．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．

【详解】

解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

2、D

【分析】

一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．

【详解】

A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．

3、B

【分析】

根据中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

4、D

【分析】

根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；

B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；

C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；

D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．

5、D

【分析】

根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．

【详解】

解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
∴结论正确的是D选项．
故选D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

6、C

【分析】

根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，

∴；

故选C．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．

7、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

8、B

【分析】

根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵点P，D分别是AF，AB的中点，

∴PD=BF=6，PD//BC，

∴∠PDA=∠CBA，

同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，

∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，

∴PQ==10，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

9、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

10、A

【分析】

把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】

解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；

选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；

选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.

二、填空题

1、

【分析】

延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果．

【详解】

解：延长CF与AB交于点M，

∵FG⊥CD，AB∥CD，

∴CM⊥AB，

∵∠B=45°，BC=AD=8，

∴CM=4，

由折叠知GF=AD=8，

∵CG=4，

∴MF=CM-CF=CM-（GF-CG）=4-4，

∵∠EFC=∠A=180°-∠B=135°，

∴∠MFE=45°，

∴EF=MF=（4-4）=8-4．

故答案为：8-4．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形．

2、或

【分析】

分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可

【详解】

如图：当将纸片沿纵向对折

根据题意可得：

为的三等分点

在中有

如图：当将纸片沿横向对折

根据题意得：，

在中有

为的三等分点

故答案为：或

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕，考虑问题应全面，不应丢解．

3、6

【分析】

根据多边形内角和公式（n-2）×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题．

【详解】

解：由题意得：

（n-2）×180°=360°×2，

解得：n=6；

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键．

4、6

【分析】

多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．

【详解】

解：设所求正边形边数为，

则，

解得，

故答案是：6．

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

5、9

【分析】

根据关于原点对称点的坐标特征求出、的值，再代入计算即可．

【详解】

解：点与点关于原点成中心对称，

，，

即，，

，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点坐标特征，即纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数．

三、解答题

1、（1）矩形，见解析；（2）3

【分析】

（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；

（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．

【详解】

解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC的中点，

∴EB＝EC，

在△ABE和△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF．

∵，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AD＝BC，AD＝AF，

∴BC＝AF，

∴四边形ABFC是矩形．

（2）∵四边形ABFC是矩形，

∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，

∴AE＝BE，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AB＝AE＝3，

∴EF＝3．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．

2、（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或

【分析】

（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；

（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；

（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．

【详解】

（1）

如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵D为BC中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，

∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDF＝∠ADE，

∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴BF＝AE，

∴AB＝AF+BF＝AF+AE；

故答案为：AB＝AF+AE；

（2）

AE+AF＝AB．理由是：

如图2，取AB中点G，连接DG，

∵点G是斜边中点，

∴DG＝AG＝BG＝AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，

∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，

又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，

∴∠GDF＝∠ADE，

∵DG＝AG，∠BAD＝60°，

∴△ADG为等边三角形，

∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，

∴△GDF≌△ADE（ASA），

∴GF＝AE，

∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，

∴AE+AF＝AB；

（3）

当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，

当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，

AE＝4，此时F在BA的延长线上，

同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），

∴AF＝HE，

∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，

∴，

当点E在AC延长线上时，如图4，

同理可得：；

综上：AF的长为或．

【点睛】

本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键

3、（1）见解析（2）见解析

【分析】

（1）利用垂直平分线和角平分线的尺规作图法，进行作图即可．

（2）利用直角三角形斜边中线性质，以及角平分线的性质直接证明与都是，最后加上，即可证明结论．

【详解】

（1）答案如下图所示：

分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，连接弧的交点的直线即为垂直平分线l，其与AB的交点为D，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA于点M，交CD于点N，交BD于点T，然后分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，连接两弧交点与D点的连线交AC于点E，同理分别以点T，N为圆心，大于为半径画弧，连接两弧交点与D点的连线交BC于点F．

（2）证明：点是AB与其垂直平分线l的交点，

点是AB的中点，

是Rt△ABC上的斜边的中线，

，

DE、DF分别是ADC，∠BDC的角平分线，

，，

，

，

，

，

，

在四边形CEDF中，，

四边形CEDF是矩形．

【点睛】

本题主要是考查了尺规作图、直角三角形斜边中线性质以及矩形的判定，熟练利用直角三角形斜边中线性质，找到三角形全等的判定条件，并且选择合适的矩形判定条件，是解决本题的关键．

4、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）

【分析】

（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．

（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．

（3）添加的条件只要可以证明即可得到矩形．

【详解】

解：（1）四边形BPCO是平行四边形，

∵BP∥AC，CP∥BD，

∴四边形BPCO是平行四边形．

（2）连接OP．          

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∠ABC=90°，

∴OB=OC．   

又四边形BPCO是平行四边形，

∴□BPCO是菱形．

∴OP⊥BC.

又∵AB⊥BC，

∴OP∥AB.

又∵AC∥BP，

四边形是平行四边形，

∴OP=AB=6.    

∴S菱形BPCO=．     

（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．

当AB=BC时，为菱形，此时有：，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形，

当AC⊥BD时，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．

5、见解析

【分析】

由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．

【详解】

∵是的中位线

∴DE∥AB，，AD=DC

∴DF∥AB

∵EF=DE

∴DF=AB

∴四边形ABFD为平行四边形

∴AD=BF

∴BF=DC

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．