专题02 三角函数 三角恒等变换（难点）

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专题02三角函数 三角恒等变换（难点）
一、单选题
1．已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
2．设函数，已知在[有且仅有4个零点，下述四个结论：①在有且仅有2个零点；②在有且仅有2个零点；③的取值范围是；④在单调递增，其中正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
由时，得到，根据在[有且仅有4个零点，则在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当时，
，
因为在[有且仅有4个零点，
所以在第4个零点和第5个零点之间，
所以，
解得，故③正确；
当时，，又，
，结合知最多有3个零点，故①错误；
当时，，又，
，结合有且仅有2个零点，故②正确；
当时，，因为，所以，则，所以在单调递增，故④正确；
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据在[有且仅有4个零点，确定，求得的范围，其他问题迎刃而解.
3．已知函数（，）的部分图像如图所示，若存在，满足，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据图象求出函数的解析式，结合对称性求出，然后利用三角函数的诱导公式进行转化，即可求解.由图象可得函数的周期为，即，解得，
又由当时，函数，
即，即，
当时，，即，
因为存在，满足，
所以，则关于对称，
即，可得，且，
则，
设，则，即，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导公式进行转化是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
5．已知函数（）的一个对称中心为，且将的图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由是对称中心，可得，由平移后的函数为偶函数可得，可求得的关系式及，由代入可知恒成立，转化为恒成立，结合可求得实数m的取值范围.是函数（）的一个对称中心，
①
的图像向右平移个单位得到的函数为，
为偶函数，②
由①②可知，，解得：
又
所以对任意，不等式恒成立，即恒成立
即恒成立，
又且，
，解得：
所以实数m的取值范围是
故选：B
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
6．设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
化简得到，，，，得到答案.；
；
；
.
根据余弦函数的单调性知：.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性，意在考查学生的综合应用能力.
7．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【点睛】
本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.
8．设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
利用两角和的余弦公式化简表达式.
对于命题（1），将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出（1）选项的真假；
对于命题（2）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；
对于命题（3）选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出（3）选项的真假；
对于命题（4）选项，根据、，求得的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.

不妨设 ．为已知实常数.
若，则得 ；若，则得．
于是当时，对任意实数恒成立，即命题（1）是真命题；
当时，，它为奇函数，即命题（2）是真命题；
当时，，它为偶函数，即命题（3）是真命题；
当时，令，则
，
上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．
将该方程的两边同除以得
，令 （），
则 ，解得 （）．
不妨取 ， （且），
则，即 （），所以命题（4）是假命题．
故选：C
【点睛】
本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.二、多选题
9．已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．在区间上单调递增 B．是的一个周期
C．的值域为 D．的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】
代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】
解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
10．设函数，，则（ ）
A．的最小正周期可能为 B．为偶函数
C．当时，的最小值为 D．存a，b使在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
A．分析是否恒成立；B．分析函数定义域，根据的关系判断是否为偶函数；C．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.A．因为，
所以，所以不一定成立，
所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；
B．因为的定义域为，关于原点对称；
又因为，
所以为偶函数，故正确；
C．因为，所以，所以
令，记，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可知：的最小值为，取最小值时，故正确；
D．取，所以，所以，
所以，所以，
又因为在上单调递减，且时，，且在时单调递减，
根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，
所以存在使在上单调递增，故正确，
故选：BCD.
【点睛】
思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：
（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性；
（2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数；
（3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.
11．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，，与轴交于点，，，，.则下列说法正确的有（ ）.

A．的最小正周期为12 B．
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】
由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．解：由题意可得：，
，，
，，，．
，，
，，
把代入上式可得：，．
解得，
，可得周期．
，，解得．可知：不对．
，，解得．
函数，
可知正确．
时，，，
可得：函数在单调递增．
综上可得：ACD正确．
故选：ACD．
【点睛】
本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
12．已知函数（其中，，），，恒成立，且在区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得是偶函数 B．
C．是奇数 D．的最大值为3
【答案】BCD
【解析】
根据得到，根据单调区间得到，得到或，故CD正确，代入验证知不可能为偶函数，A错误，计算得到B正确，得到答案.，，则，，
故，，，
，则，故，，，
当时，，，
在区间上单调，故，故，即，
，故，故，
综上所述：或，故CD正确；
或，故或，，不可能为偶函数，A错误；
当时，，，故；
当时，，
，故，
综上所述：，B正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)
①；
②；
③的定义域为；
④；
⑤.
【答案】②④⑤
【解析】
由题设新定义知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误.
①，故错误；
②，故正确；
③，即，有，故错误；
④，故正确；
⑤，所以，故正确.
故答案为：②④⑤
【点睛】
关键点点睛：新定义有，，，结合三角恒等变换判断各项的正误.
14．已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
先分析题意即，再利用单调性求解的最小值和的最小值，解不等式即得结果.依题意，对于，使得，只需.
时，，，
故当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减.
而函数，显然在单调递减.
故根据复合函数单调性可知，在单调递减，在上单调递增，故.
对于，，
当时，故是单调递减的，
当时，故是单调递增的，
故.
故依题意知，，即.
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集.
15．关于函数，下列说法正确的是___________（将正确的序号写在横线上）
（1）是以为周期的函数；
（2）当且仅当时，函数取得最小值；
（3）图像的对称轴为直线；
（4）当且仅当时，.
【答案】
【解析】
由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及对应的区间，即可判断各项的正误.由题设，，，
∴，所以周期为.
由解析式可得的图象如下：

由图知：当且仅当时，函数取得最小值；图像的对称轴为直线；当且仅当时，.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：分类讨论并求出的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误.
16．给出以下命题：
①若α、β是第一象限角且，则；
②函数有三个零点；
③函数是奇函数；
④函数的周期是；
⑤函数，当时恒有解，则a的范围是.
其中正确命题的序号为____________.
【答案】④⑤
【解析】
根据正切周期性，对①举反例；根据与关系，可解零点；根据奇函数定义域，判断是非奇非偶函数.对于①，令，则①错；
对于②，当有恒成立，则无零点；又为奇函数，，也无零点；则只有一个零点，则②错；
对于③，求定义域，则定义域为定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误；
对于④，函数是函数向下平移个单位，再沿轴将下方图像翻折到轴上方，故，则④正确
对于⑤，

当，，，
使恒有解，则恒有根
，，则⑤正确
故答案为：④⑤
【点睛】
本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.四、解答题
17．已知函数，，是参数，，，.
（1）若，判别的奇偶性，若，判别的奇偶性；
（2）若，是偶函数，求；
（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例.（不必证明命题）将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）；（3）答案见解析.
【解析】
化简和，
（1）化简的解析式，根据奇偶函数的定义可判断出结果；
（2）由求出，再验证为偶函数；
（3）根据（1）或（2）中和的值，猜与的值与和函数、积函数的奇偶性的关系可得解.， ，
， ，
（1）当，所以
，
所以是偶函数；
当时，
，
所以，
因为，所以不是奇函数，
因为，所以不是偶函数
所以是非奇非偶函数；
（2）因为为偶函数，
所以对一切恒成立，所以，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
当时，，
，所以为偶函数，
综上所述：.
（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、是偶函数；
2、是奇函数；
3、是非奇非偶函数；
4、是既奇又偶函数；
第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、是偶函数（数字不分奇偶）；
2、是奇函数；
是偶函数（数字只能同奇数）；
3、是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；
4、是既奇又偶函数（数字只能奇数；
是非奇非偶函数；
第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，
1、是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则；
2、是奇函数（数字只能正奇数），则 ；
是偶函数（数字只能正偶数），则 ；
3、是偶函数（数字只能正奇数），则；
第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，
1、的充要条件是是偶函数，
2、是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；
是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是；
3、是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则；
第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），
1、时，都是偶函数；
2、时，是正奇数，是奇函数；
时，是正偶数，是偶函数；
3、，奇数，既奇又偶函数；
4、，偶数，是非奇非偶函数.
【点睛】
关键点点睛：掌握三角恒等变换公式与三角函数的奇偶性是解题关键.
18．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）选①②③，；（2）.
【解析】
（1）根据题意可得出函数的最小正周期，可求得的值，根据所选的条件得出关于的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出的值，综合可得出函数的解析式；
（2）求得，由可计算得出，进而可得出，由参变量分离法得出，利用基本不等式求得的最小值，由此可得出实数的取值范围.（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.
选①，因为函数的一条对称轴，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意.
所以，；
选②，因为函数的一个对称中心，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】
（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；
（2）令，利用换元法转化为，求最大值即可；
（3）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；
（4）由方程，得到，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意，函数

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，
因为，所以，
所以函数.
（2），
令，
则，
所以，，
因为对称轴，
所以当时，，
即的最大值为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（4）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图

可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.
20．已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及图象的对称轴方程；
（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为；（2）.
【解析】
（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据三角函数的图象变换，求得，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.（1）由题意，向量，，
所以

.
可得，即函数的最小正周期为，
令，解得
所以函数的最小正周期为，对称轴方程为.
（2）由（1）知，
将的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得，
然后将向左平移个单位长度得到函数，
令，即，
由图可知，在上有4个零点：，，，，
根据对称性有，，
所以所有零点和为.

【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，以及向量的数量积运算，函数与方程等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
21．已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】
（1）利用向量数量积的公式化简函数即可；
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可；
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.解：（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
① 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
② 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得，
③ 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
综上若的最小值为，则实数；
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，得，则，
即实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度.
22．已知函数，其中常数．
（1）在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象，且过，若函数在区间（，且）满足：在上至少含30个零点，在所上满足上述条件的中，求的最小值；
（3）在（2）问条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)由二倍角正弦公式化简原函数，即知最小正周期，找到其中一个递增区间，由已知区间属于递增区间列不等式组求的范围即可；(2)根据函数图象平移得到，由其过P点且求出值，在上至少含30个零点，根据三角函数的图象及性质分析即可知的最小值；(3)由不等式恒成立，令，即成立即可求的范围解（1）由题意，有，又则最小正周期
由正弦函数的性质，当，函数取得最小值，函数取得最大值
∴是函数的一个单调递增区间
若函数在上单调递增，则且
解得
（2）∵由（1）：
∴将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象
∵的图象过．
∴，可得：，解得：，，
即：，，
∵
∴，可得的解析式为：
∴的周期为
在区间（，且）满足：在上至少有30个零点，
即在上至少有30个解．
∴有或
解得：或
分析：直线与三角函数图象的一个周期内的交点中，两个交点距离：最小为波谷跨度，最大为波峰跨度：
∴当交点正好跨过15个波谷，即跨过14个整周期和一个波谷时，有最小值
即，在所有满足上述条件的中的最小值为
（3），设，
∵即可
只需要解得
综上所述
【点睛】
本题考查了三角函数的图象及性质，1、应用二倍角正弦公式化简，结合正弦函数的单调性求参数范围；2、根据函数图象平移得到新函数的解析式，由函数的零点个数求最值；3、将不等式恒成立转化为函数的最值情况下不等式成立，进而求参数范围
23．如图所示，点在圆的一段圆弧上，设.

（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ)设，过点的直线与轴垂直交于点，设曲边多边形的面积为；
（ⅰ）求函数的解析表达式；
（ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）运用向量的模的计算　和向量的数量积的定义可得.再运用正弦函数的值域可求得的取值范围.
（Ⅱ）（ⅰ）由扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示.
（ⅱ）将问题转化为，由三角函数的值域和不等式的恒成立思想可求得取值范围．（Ⅰ）.
因为，所以的值域为，所以的取值范围为.
（Ⅱ）（ⅰ）.
（ⅱ），即，
因为，所以，所以，
所以.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算之求向量的模，正弦函数的值域，以及不等式的恒成立思想的运用，属于较难题．
24．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”．
（1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
（2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
（3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出、．
【答案】（1）；（2）证明见解析；定值；（3）或.
【解析】
由“余弦方差”的定义，对（1）（2）（3）逐个求解或证明即可.（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于y轴对称或关于原点对称，
又，
所以与的终边只能关于y轴对称，
所以，
因为，，
当时，，
当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是对“余弦方差”的定义应用和较强的运算能力.