12导数及其应用（解析版）练习题

这是一份12导数及其应用（解析版）练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练
一、选择题
1．设p：∀x∈R，x2－4x＋3m>0；q：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　由q知f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即Δ1＝16－12m≤0，即m≥；由p得Δ2＝16－12m，故p成立q一定成立，q成立p不一定成立，即p是q的充分不必要条件．
2．已知点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(　　)
A．6x－y－4＝0
B．x－4y＋7＝0
C．6x－y－4＝0或x－4y＋7＝0
D．6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0
【答案】　D
【解析】　由于点A(1，2)在函数f(x)＝ax3的图像上，则a＝2，即y＝2x3，所以y′＝6x2.若点A为切点，则切线斜率为6，若点A不是切点，设切点坐标为(m，2m3)，则切线的斜率为k＝6m2.由两点的斜率公式，得＝6m2(m≠1)，即有2m2－m－1＝0.解得m＝1(舍去)或m＝－.综上，切线的斜率为k＝6或k＝6×＝，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程为y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选D.
3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线
y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1 B．0
C．2 D．4
【答案】　B
【解析】　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0.
4．设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的图像可以为(　　)

【答案】　C
【解析】　∵g(x)＝(sinx)′＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx.根据函数的图像关于y轴对称及过点(0，0)知，应选C.
5．已知实数x，y满足其中a＝(x2－1)dx，则实数的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　a＝(x3－x)＝6，作出可行域如图阴影部分所示，＝表示过点P(－1，0)，Q(x，y)的直线的斜率，易知A(2，4)，显然kPQ≥kPA＝＝，所以的最小值为.
6．已知函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，e] B．(－∞，1]
C．[0，e] D．[0，1]
【答案】　B
【解析】　因为g′(x)＝aex－1，当a≤0时，g′(x)＝aex－10时，由g′(x)＝aex－1＝0，可得x＝－lna，当x－lna时，g(x)为单调递增函数，所以可得g(x)min＝g(－lna)＝lna＋2a2－2，若要使函数g(x)＝aex－x＋2a2－3能够取遍(0，＋∞)内的所有实数，则应满足lna＋2a2－2≤0.设f(a)＝lna＋2a2－2，分析可以得到当a>0时，f(a)为单调递增函数，且f(1)＝0，所以00，即a＋b0，得x∈[－2，0)∪(1，2]；令f′(x)