初中数学华师大版七年级上册2 有理数教学设计

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第二章 有理数
















在上面的天气预报电视屏幕上，
我们看到，这一天上海的最低温度
是-5℃，读作负5℃，表示零下5℃。
这里，出现了一种新数——负数.
我们将会看到，除了表示温度以外，
还有许多量需要用负数来表示.有了负数，
数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.
本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算.
§2.1 正数和负数
我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，...; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.
1. 相反意义的量
在日常生活中，常会遇到这样的一些量：
例1 汽车向东行驶3.5公里和向西行驶2.5公里；
例2 收入500元和支出237元;
例3 水位升高5.5米和下降3.6米等等.

这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.
这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?
你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?
2. 正数与负数
对于相反意义的量, 只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5℃用5表示, 那么零下5℃就不能仍用同一个数5来表示.
想一想
怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发呢?
在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5℃可以用-5℃来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.
就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃用 -5℃来表示.
在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.
在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?
在例4中，如果升高5.5米记作5.5米,下降3.6米记作什么?
在这些讨论中，出现了哪些新数?
为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个"+"号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的. 注意: 0既不是正数,也不是负数.

练习
将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示.

2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示?

3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
+6；-21；54；0；；-3.14；0.001；-999
4.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?

3. 有理数
想一想
引进了负数以后，我们学过的数有哪些?

引进了负数以后，我们学过的数就有： 正整数，如1，2，3，...;
零: 0;
负整数, 如-1,-2,-3,...;
正分数, 如, ,4.5(即);
负分数, 如-,,-0.3(即),....
正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).

有如下分类表：

把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.

例5 把下列各数填入表示它所在的数集的

圈子里： -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95%





正整数 负整数






整数集 有理数集

解
, 3.1416, -18, ,
2001, 95% -0.142857

正整数 负整数

－18，0，2001， -18, , 3.1416, 0, 2001,
, -0.142857, 95%

整数集 有理数集

练习
1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?

2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?

3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?

正数集 整数集

习题2.1

1. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?

1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1

2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：

, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%

整数集 分数集


负数集 有理数集

3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:
正整数集:{ }
负整数集:{ }
正分数集:{ }
负分数集:{ }


4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?

(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，......；

(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，......；
(3)-1,,-,,,,, , , ,......
阅读材料－－中国人最早使用负数
——《九章算术》和我国古代的“正负术”
《九章算术》是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。
引进和使用负数是《九章算术》的一项突出的贡献。在《九章算术》的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数《九章算术》在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设a＞b＞0，这八句话可以表示为：
(±a)－(±b)＝±(a－b)；
(±a)－(μb)＝±(a＋b)；
0a＝－a；
0－(－a)＝＋a；
(±a)＋(μb)＝±(a－b),(±b)＋(μa)＝μ(a－b)；
(±a)＋(±b)＝±(a－b)；
0＋a＝＋a；
0＋(－a)＝－a。
不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。
《九章算术》以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。
在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。



§2.2 数轴
1. 数轴

我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.

想一想
能不能用直线上的点表示正数、零和负数?从温度计上能否得到一点启发?

温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。
与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.
(图2-2-1) 体做法如下：
画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示０.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…(图2-2-2).



图2-2-2

概括
象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 .
在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.
例1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，-2，-4.5， ，0 .
解 如图2-2-3所示


图2-2-3


练习

1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?

⑴


⑵


⑶


⑷



2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数.

3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
-1.8,0,-3.5, ,
再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.

2.在数轴上比较数的大小
观察
画数轴时，我们从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上数1，2，3，….所以，在数轴正方向，越右边的点表示的数越大.
根据数轴的画法，在数轴负方向，我们也有：越左边的点表示的数越小，就象温度计上刻度-2℃的温度低于-1℃，-3℃的温度低于-2℃，…一样.

概括
我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.

例2 将有理数3，0，，-4按从小到大顺序排列，用“＜”号连接起来.

解 正数＜3，由正、负数大小比较法则，得
-4＜0＜＜3 .

例3 比较下列各数的大小：

-1.3，0.3，-3，-5 .

解 将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)：


图2-2-4

所以 -5＜-3＜-1.3＜0.3
练习
1.判断下列各式是否正确:

⑴ 2.9＞-3.1； ⑵ 0＜-14；

⑶ -10＞-9； ⑷ -5.4＜-4.5

2.用“＜”号或“＞”号填空：

⑴ 3.6 2.5； ⑵ -3 0；

⑶ -16 -1.6； ⑷ +1 -10；

⑸ -2.1 +2.1； ⑹ -9 -7

习题2.2
1. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数：


2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：

⑴ -2.1，-3，0.5，；

⑵ -50，250，0，-400 .

3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度：

-3，4.2，-1， .

4. 一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.


可以看出，终点表示数-2.

请同学参照上图，完成填空：

已知A、 B是数轴上的点.

(1)如果点A表示 数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数 ；

(2)如果点A表示数3， 将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示数 ；

(3)如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B所表示的数是 .

5. 比较下列每对数的大小：

(1)-8，-6； (2)-5, 0.1；

(3,0； (4)-4.2；-5.1；
(5) , ； (6) ,0 ；
6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“0.01， 所以 -1< -0.01 .

(2) 化简 -|-2|=-2，

因为负数小于0， 所以-|-2| < 0 .

(3) 这是两个负数比较大小，

因为|-0.3|=0.3，
且 0.3 < ， 所以

(4) 分别化简两数，得



因为正数大于负数，所以
练习
1. 用“”填 空：

(1)因为 ,所以 ；

(2)因为 |-10| |-100| ；所以 -10 -100 .

2. 判断下列各式是否正确：
(1) (2)
(3) > (4)