初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形学案及答案

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【巩固练习】一.选择题1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于(    )．A．30°       B．36°       C．45°       D．54°2. 等腰三角形两边、满足｜｜＋＝0，则此三角形的周长是（    ）A．7 B．5 C．8 D．7或53.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）　 A．10 B． 15 C． 20 D． 254. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　）．　 A．          B．1             C．2           D．55．如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（      ）A．1个     　  B．3个        C．5个       D．无数多个6. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　） A、2个        B、3个        C、4个      D、5个二.填空题7．已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含的式子表示）. 8. 已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________.9.等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　    　． 10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．12.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　　     °． 三.解答题13.如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．  14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 15.在中，，点是直线上一点（不与重合），以AD 为一边在AD 的右侧作，使，连接．（1）如图1，当点在线段上，如果，则_________；（2）设，． ①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；   ②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.2. 【答案】A；   【解析】－＋2=0且2＋3－11=0，解得＝1，＝3，选A；B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.3. 【答案】D；   【解析】解：∵BO平分∠CBA，∴∠EBO=∠OBC，∵CO平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，∵AB=10，AC=15，∴C△AEF=25．故选D．4. 【答案】C；   【解析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，BC=5，△BCD的面积为5，得出DF=2，又BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得DE=DF=2。故选C5. 【答案】C；   【解析】如图所示：A、B中垂线与的交点为P点；分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与交于4个P点；6. 【答案】C；   【解析】P点在以B为圆心，AB为半径的圆上，作BC的中垂线（绿色），与B交于两点为，点，以C为圆心，BC为半径画圆，与B交于两点为，点.有4个P点，则能找到4个E点.                  二.填空题7. 【答案】；   【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是.8. 【答案】7或8；   【解析】2或3都可能是腰，要分情况讨论.9. 【答案】5，5或6，4；   【解析】①当4为底边时，另外两边为5，5，因为4+5＞5，所以能构成三角形；②当4是腰长时，另外两边为6，4，因为4+4＞6，所以能构成三角形；故答案为：5，5或6，4．10.【答案】45；   【解析】△ADC≌△BDH，AD＝BD，所以∠ABC＝45°.11.【答案】40；   【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.12.【答案】；   【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，∴∠BA1A===75°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1===37.5°；∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，…，∴∠An=，故答案为：．三.解答题13.【解析】解：如图，OA是腰长时，以O点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有2个点（红色的点）分别为：（3，4）、（4，3）、可以作为点B，以A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有4个点（蓝色的点）分别为：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点B，OA是底边时，OA垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．所以，满足条件的B的个数是2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）．14.【解析】BE＋CF＞EF证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG∵D是BC中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF∴EG＝EF在△FDC与△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴BG＝CF∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF.15．【解析】（1）90°；（2）①α＋β＝180°.
证明：①∵∠BAC＝∠DAE，
      ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
      即∠BAD＝∠CAE．
      在△ABD与△ACE中，
      ∴△ABD≌△ACE，
      ∴∠B＝∠ACE．
      ∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．
      ∴∠B＋∠ACB＝β，
      ∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，
      ∴α＋β＝180°；
      ②如图：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°；
        当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．