新人教版2022届一轮复习打地基练习 平行线的性质

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新人教版2022届一轮复习打地基练习 平行线的性质
一．选择题（共11小题）
1．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
2．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（　　）

A．68° B．66° C．48° D．46°
4．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（　　）

A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．105°
6．如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC的度数为（　　）

A．115° B．120° C．125° D．130°
7．∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（　　）
A．50° B．130° C．50°，130° D．40°，140°
8．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
9．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　）

A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
10．如图所示，已知直线c与a，b分别交于点A、B且∠1＝120°，当∠2＝（　　）时，直线a∥b．

A．60° B．120° C．30° D．150°
11．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
二．填空题（共16小题）
12．如图，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2＝　 　度．

13．如图，EF∥AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，则∠FEC＝　 　°．

14．如图，AB∥CD，点E是BC上一点，过点E的直线分别与AB，CD交于点M，N，∠1＝135°，∠2＝65°，则∠B的度数为　 　．

15．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝　 　．

16．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝35°，则∠2的度数为　 　．

17．两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角中较小角的度数为　 　°．
18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝65°，则∠2＝　 　．

19．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3的度数等于 　 　．

20．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝　 　．

21．如图，直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、F在直线m上，连接CA、CB，CD平分∠ACB交AB于点D，平面内有点E，连接EC，2∠ECB+∠BCF＝180°，过点F作FG∥CE交CD于点G，∠FGC﹣∠ADC＝9°，∠CAB＝4∠ABC，则∠ACB＝　 　．

22．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20度，则∠HFD为　 　度．

23．如图，若AB∥CD，点E在直线AB的上方，连接AE，CE，延长EA交CD于点F，已知∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，则∠EAB＝　 　°．

24．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝49°，则∠1＝　 　度，∠2＝　 　度．

25．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为　 　．

26．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为 　 　．

27．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为　 　．

三．解答题（共8小题）
28．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

29．如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC，BC，∠ACM+∠ABC＝90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A，D重合），连接EC．

（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ECA＝2∠EAB，求证：∠ECB＝∠ABC；
（3）如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB＝20°，∠ECM＝α，∠EBC＝β，∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），请直接写出α，β，γ之间的等量关系．
30．如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN、PQ上，且∠BAN＝45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）．且a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0．

（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t＜60），两条旋转射线交于点C．过C作CD⊥AC交PQ于点D，求出∠BAC与∠BCD的数量关系；
（3）若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t＜160），若旋转中AM∥BP，求t的值．
31．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　 　°，当DP⊥OE时，x＝　 　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

32．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　 　．

33．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=14∠BEC；
（3）猜想：若∠En＝α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．
34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝　 　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

35．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是 　 　．
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是 　 　．

新人教版2022届一轮复习打地基练习 平行线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　）
A．42°、138° B．都是10°
C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．
【解答】解：如图1，∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2．
如图2，∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°
∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，
（1）两个角相等，则x＝4x﹣30°，
解得x＝10°，
4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°；
（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°，
解得x＝42°，
4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°．
所以这两个角是42°、138°或10°、10°．
故选：C．

2．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是（　　）

A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据平行线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故A符合题意；
∵AB与BF不平行，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠2＝45°，∠4＝30°，
∴∠1≠∠4，
故C不符合题意；
∵AF与ED不平行，
∴∠1≠∠5，
故D不符合题意；
故选：A．

3．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF．若∠EGD＝114°，则∠EFG的大小是（　　）

A．68° B．66° C．48° D．46°
【分析】由平行线的性质求出∠BEG，根据角平分线的定义求出∠BEF，最后根据平行线的性质即可求出∠EFG．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∵∠EGD＝114°，
∴∠BEG+114°＝180°，
∴∠BEG＝180°﹣114°＝66°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF＝2∠BEG＝2×66°＝132°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG＝180°，
∴∠EFG＝180°﹣∠BEF＝180°﹣132°＝48°，
故选：C．
4．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（　　）

A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z
【分析】延长AB交DE于H，依据平行线的性质，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，进而得到x﹣z＝y．
【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠AHE＝x，
∵CD∥EF，AB∥EG，
∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，
∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，
∴x﹣z＝y，
故选：B．

5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠ABC＝180°，进而可求出∠1．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．

6．如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC的度数为（　　）

A．115° B．120° C．125° D．130°
【分析】根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠DEF的度数∠DEF，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝20°，
∴∠AEB＝70°，
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF，
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝110°，
∴∠DEF＝55°，
∵AD∥BC，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝125°．
故选：C．
7．∠A＝50°，∠B的一条边和∠A的一边平行，∠B另一条边和∠A的另一条边垂直，则∠B＝（　　）
A．50° B．130° C．50°，130° D．40°，140°
【分析】分两种情况讨论，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解．
【解答】解：如图①，
∵AC∥BE，
∴∠1＝∠A＝50°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠EBF＝90°+50°＝140°；
如图②，
∵AC∥BE，
∴∠1＝180°﹣∠A＝130°，
∵BF⊥AD，
∴∠DFB＝90°，
∴∠EBF＝130°﹣90°＝40°．
综上所述，∠B＝140°，40°．
故选：D．

8．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
【分析】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
9．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　）

A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．

直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；
△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
即α+β﹣γ＝90°．
故选：B．
10．如图所示，已知直线c与a，b分别交于点A、B且∠1＝120°，当∠2＝（　　）时，直线a∥b．

A．60° B．120° C．30° D．150°
【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的判定即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝120°，∠1与∠3是对顶角，
∴∠1＝∠3＝120°，
∵∠2＝∠3＝120°，
∴直线a∥b，
故选：B．

11．如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）
A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补
【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补作答．
【解答】解：如图知∠A和∠B的关系是相等或互补．

故选：D．
二．填空题（共16小题）
12．如图，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2＝　130　度．

【分析】本题直接利用两直线平行，同旁内角互补即可解题．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
13．如图，EF∥AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，则∠FEC＝　20　°．

【分析】根据平行线的性质由AD∥BC得∠ACB＝180°﹣∠DAC＝60°，则∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，再根据角平分线的定义得到∠BCE=12∠BCF＝20°，然后根据平行线的性质由EF∥BC得到∠FEC＝∠BCE＝20°．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝60°﹣20°＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE=12∠BCF＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
故答案为20．
14．如图，AB∥CD，点E是BC上一点，过点E的直线分别与AB，CD交于点M，N，∠1＝135°，∠2＝65°，则∠B的度数为　20　．

【分析】先利用平角的性质、三角形的性质求出∠C，再利用平行线的性质求出∠B即可．
【解答】解：∵∠1＝135°，
∴∠CEN＝180°﹣135°＝45°，
∴∠C＝∠2﹣∠CEN＝65°﹣45°＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝20°，
故答案为：20．
15．把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝　55°　．

【分析】根据翻折变换的性质可得∠BOG＝∠B′OG，再根据平角等于180°列方程求解即可．
【解答】解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，
∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，
∴∠B′OG=12（180°﹣∠AOB′）=12（180°﹣70°）＝55°．
故答案为55°．
16．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝35°，则∠2的度数为　55°　．

【分析】根据直角的度数求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2的度数．
【解答】解：∵∠1＝35°，∠ABC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝55°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝55°．

17．两个角的两边两两互相平行，且一个角的12等于另一个角的13，则这两个角中较小角的度数为　72　°．
【分析】设其中一个角的度数为x°，则另一个角的度数为32x°，根据平行线得出两个角互补，列出方程，再求出x即可．
【解答】解：∵一个角的12等于另一个角的13，
∴这两个角不相等，
设其中一个角的度数为x°，另一个角的度数为12x°÷13=32x°，
∵两个角的两边两两互相平行，
∴x+32x＝180，
解得：x＝72，
即较小角的度数是72°，
故答案为：72．
18．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFG＝65°，则∠2＝　130°　．

【分析】据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据翻折的性质以及平角等于180°，求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补，列式计算即可得解．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠3＝∠EFG＝65°，
根据翻折的性质，可得∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×65°＝50°，
又∵AD∥BC，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．

19．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝25°，∠2＝55°，则∠3的度数等于 　30°　．

【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，

∵a∥b，
∴∠4＝∠2＝55°，
∵∠4＝∠1+∠3，∠1＝25°，
∴∠3＝30°，
故答案为30°．
20．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝　16°　．

【分析】先利用平行线的性质得∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，再根据折叠的性质得∠DEF＝∠GEF＝49°，所以∠2＝98°，接着利用互补计算出∠1，然后计算∠2﹣∠1．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
21．如图，直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、F在直线m上，连接CA、CB，CD平分∠ACB交AB于点D，平面内有点E，连接EC，2∠ECB+∠BCF＝180°，过点F作FG∥CE交CD于点G，∠FGC﹣∠ADC＝9°，∠CAB＝4∠ABC，则∠ACB＝　（2707）°　．

【分析】设∠2＝∠DCB＝x，∠3＝∠ECB＝y，则∠1＝180°﹣2y，∠ECA＝y﹣2x，用含x、y的代数式表示相关角的大小，根据∠FGC﹣∠ADC＝9°，∠CAB＝4∠ABC列方程即可求解．
【解答】解：如图：

∵2∠ECB+∠BCF＝180°，且∠3+∠ECB+∠BCF＝180°，
∴∠3＝∠ECB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠2＝∠DCB，
设∠2＝∠DCB＝x，∠3＝∠ECB＝y，则∠1＝180°﹣2y，∠ECA＝y﹣2x，
∵FG∥CE，
∴∠FGC＝∠ECG＝（y﹣2x）+x＝y﹣x，
∵m∥n，
∴∠ADC＝∠FCD＝∠1+∠DCB＝180°﹣2y+x，
∵∠FGC﹣∠ADC＝9°，
∴（y﹣x）﹣（180°﹣2y+x）＝9°，即3y﹣2x＝189①，
∵m∥n，
∴∠CAB＝∠HCA＝∠3+∠ECA＝y+（y﹣2x）＝2y﹣2x，
∠ABC＝∠1＝180﹣2y，
∵∠CAB＝4∠ABC，
∴2y﹣2x＝4（180°﹣2y），即5y﹣x＝360°②，
由②得x＝5y﹣360°③，
把③代入①得：3y﹣2（5y﹣360°）＝189°，
解得y=5317，
∴x＝5y﹣360°＝5×5317−360°=1357，
∴∠ACB＝2x=2707，
故答案为：（2707）°．
22．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20度，则∠HFD为　35　度．

【分析】过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．
【解答】解：过点G作AB平行线交EF于P，
由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP＝∠AEG＝20°，
∴∠PGF＝70°，
∴∠GFC＝∠PGF＝70°，
∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝35°．
故答案为：35．

23．如图，若AB∥CD，点E在直线AB的上方，连接AE，CE，延长EA交CD于点F，已知∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，则∠EAB＝　134　°．

【分析】根据三角形外角的性质以及平行线的性质即可求解．
【解答】解：∵∠DCE＝99°，∠CEF＝35°，
∴∠EFD＝∠DCE+∠CEF＝99°+35°＝134°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠EFD＝134°．
故答案为：134．
24．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠B＝49°，则∠1＝　71　度，∠2＝　49　度．

【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠1＝180°﹣∠A﹣∠B＝71°，然后根据平行线的性质由AB∥CD得到∠2＝∠B＝49°．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝49°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠B＝71°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠B＝49°．
故答案为71，49．
25．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为　12°　．

【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根据三角形的外角性质可得答案．
【解答】解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，
∴∠AFD＝∠CDE＝42°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，
故答案为：12°．
26．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为 　75°　．

【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠BCE＝∠E＝30°，然后求出∠ACF的度数，再根据直角三角形的两锐角互余列式求解即可．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°，
在Rt△ACF中，∠AFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°．
27．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为　15°　．

【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BAE的度数，再根据∠2＝30°，即可得到∠CAE的度数．
【解答】解：由图可知，
∠1＝45°，∠2＝30°，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠1＝45°，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15°．

三．解答题（共8小题）
28．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=12∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB＝∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC＝2∠OBC，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE＝∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB=12∠AOC=12×80°＝40°；

（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；

（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=14∠AOC=14×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
29．如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC，BC，∠ACM+∠ABC＝90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A，D重合），连接EC．

（1）求∠ACB的度数；
（2）若∠ECA＝2∠EAB，求证：∠ECB＝∠ABC；
（3）如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB＝20°，∠ECM＝α，∠EBC＝β，∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），请直接写出α，β，γ之间的等量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质和∠ACM+∠ABC＝90°，即可求∠ACB的度数；
（2）结合（1）根据∠ECA＝2∠EAB，即可求证∠ECB＝∠ABC；
（3）分点E在线段BC的左侧和点E在线段BC的右侧两种情形讨论解答：根据平行线的性质和角平分线定义，∠EAB＝20°，∠ECM＝α，∠EBC＝β，∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），即可求出α，β，γ之间的等量关系．
【解答】解：（1）∵MN∥AB，
∴∠ACM＝∠CAB，
∵∠ACM+∠ABC＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠ECA＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠ECA．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ECA＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°．
∴∠ECB＝∠ABC；
（3）α，β，γ之间的等量关系为：γ+β−12α＝60°或γ﹣β−12α＝60°．理由：
当点E在线段BC的左侧时，如图，

∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF=12∠CED=12α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝50°﹣β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（12α﹣10°）＝γ−12α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+10°＝20°+50°﹣β．
∴γ+β−12α＝60°；
当点E在线段BC的右侧时，如图，

∵∠CAB＝2∠EAB，∠EAB＝20°，
∴∠CAB＝40°，∠CAE＝∠EAB＝20°．
∵MN∥AB，
∴∠MCA＝∠CAB＝40°．
∵∠ECM＝α，
∴∠ACE＝∠ECM﹣∠MCA＝α﹣40°．
∴∠CED＝∠CAE+∠ACE＝α﹣40°+20°＝α﹣20°．
∵EF平分∠CED，
∴∠CEF＝∠DEF=12∠CED=12α﹣10°．
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵∠EBC＝β，
∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝50°+β．
∵∠BEF＝γ（0°＜γ＜180°），
∴∠BED＝∠BEF﹣∠FED＝γ﹣（12α﹣10°）＝γ−12α+10°．
∵∠BED＝∠EAB+∠ABE，
∴γ−12α+10°＝20°+50°+β．
∴γ﹣β−12α＝60°；
综上，α，β，γ之间的等量关系为：γ+β−12α＝60°或γ﹣β−12α＝60°．
30．如图1，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN、PQ上，且∠BAN＝45°，射线AM绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转（速度是a°/秒），射线BP绕点B顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转（速度是b°/秒）．且a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0．

（1）a＝　3　，b＝　1　．
（2）如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t秒（t＜60），两条旋转射线交于点C．过C作CD⊥AC交PQ于点D，求出∠BAC与∠BCD的数量关系；
（3）若射线BP先旋转20秒，射线AM才开始旋转，设射线AM旋转时间为t秒（t＜160），若旋转中AM∥BP，求t的值．
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a，b的值；
（2）由题意可得∠BAC＝3t﹣135°，再根据PQ∥MN即可得到∠BCA＝∠CBD+∠CAN，从而可得∠BCA＝180°﹣2t，再根据∠ACD＝90°，可得∠BCD＝2t﹣90°，从而可得∠BAC：∠BCD＝3：2，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM、射线BP互相平行时的时间．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣1）2＝0．
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b，1，
故答案为：3，1；
（2）由题意得∠CAM＝3t，∠CBD＝t，
∵∠CAN＝180°﹣3t，∠BAN＝45°，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
过点C作CE∥PQ，

∴∠CBD＝∠BCE＝t，
∵PQ∥MN，
∴CE∥MN，
∴∠CAN＝∠ACE＝180°﹣3t，
∵∠ACE+∠BCE＝∠ACB，
∴∠ACB＝CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD；
（3）∵t＜160，
∴（20+t）×1＜180，3t＜480，即射线BP旋转的角度小于180°，
①当3t＜180，即0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得：t＝10；
②当180＜3t＜270且（20+t）×1＞90，即70＜t＜90时，
3t﹣180+（20+t）×1＝180，
解得：t＝85；
③当360＜3t＜480且（20+t）×1＞90，即120＜t＜160时，
3t﹣360＝（20+t）×1，
解得：t＝190（不合题意，舍去）；
∴若旋转中AM∥BP，t的值为10或85．
31．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是　20　°，当DP⊥OE时，x＝　70　；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP=12∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；

（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，

∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
32．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　30°　．

【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ABN＝120°，再根据BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，即可得出∠CBD的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再根据BD平分∠PBN，即可得到∠PBN＝2∠DBN进而得出∠APB＝2∠ADB；
（3）根据∠ACB＝∠CBN，∠ACB＝∠ABD，得出∠CBN＝∠ABD，进而得到∠ABC＝∠DBN，根据∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠NBP，
∴∠CBD=12∠ABN＝60°；

（2）不变化，∠APB＝2∠ADB．
证明：∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，
∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，
∴∠ABC=12（120°﹣60°）＝30°，
故答案为：30°．

33．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE2C=14∠BEC；
（3）猜想：若∠En＝α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；同理可得∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC；
（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=18∠BEC；…据此得到规律∠En=12n∠BEC，最后求得∠BEC的度数．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1=12∠ABE+12∠DCE=12∠BEC；
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2=12∠ABE1+12∠DCE1=12∠CE1B=14∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3=12∠ABE2+12∠DCE2=12∠CE2B=18∠BEC；
…
以此类推，∠En=12n∠BEC，
∴当∠En＝α度时，∠BEC等于2nα度．


34．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝　110°　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．

【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°；

（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；


（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；

当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．

35．如图1，已知直线CD∥EF，点A、B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）求证∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）利用（1）的结论解答：
①如图2，AP1、BP1分别平分∠DAP、∠FBP，请你直接写出∠P与∠P1的数量关系是 　∠P＝2∠P1　．
②如图3，AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，则∠AP2B的度数是 　140°　．
【分析】（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM＝∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB＝∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答；
②根据①的规律可得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【解答】（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM＝∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB＝∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性质）
即∠APB＝∠DAP+∠FBP；
（2）①结论：∠P＝2∠P1；
理由：由（1）可知：∠P＝∠DAP+∠FBP，∠P1＝∠ADP1+∠FBP1，
∵∠DAP＝2∠DAP1，∠FBP＝2∠FBP1，
∴∠P＝2∠P1．
故答案为：∠P＝2∠P1；
②由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=12∠CAP，∠EBP2=12∠EBP，
∴∠AP2B=12∠CAP+12∠EBP
=12（180°﹣∠DAP）+12（180°﹣∠FBP）
＝180°−12（∠DAP+∠FBP）
＝180°−12∠APB
＝180°−12×80°＝140°．
故答案为：140°．