期末复习：中位线定理（二）八年级数学人教版下册试卷

这是一份期末复习：中位线定理（二）八年级数学人教版下册试卷，共20页。

一．选择题
1．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是（ ）
A．16B．12C．8D．4
2．如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（ ）
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．9cm2
4．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④
5．如图，在△ABC中D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在BC上，且BC＝4BF＝4CG，EF与DG相交于点O，若∠DFE＝40°，∠DGE＝80°，那么∠DOE的度数是（ ）
A．100°B．120°C．140°D．160°
6．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，如果DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
二．填空题
8．如图，△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点，若S△CMN＝2，则S四边形ABNM＝ ．
9．已知三角形的周长是m，它的三条中位线围成的三角形的周长为 ．
10．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是 厘米．
11．已知，在四边形ABCD中，AB＝CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD＝30°，∠CAB＝70°，则∠AFG的度数是 ．
12．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝7，AC＝4，则DF的长为 ．
13．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，且∠A+∠B＝136°，则∠ANM＝ °．
14．如图△ABC中，AC＞AB，AB＝4，AC＝x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC的中点，DE＝y，设y关于x的函数关系式为 ．
15．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 ．
16．将联结四边形对边中点的线段称为“中对线”．凸四边形ABCD的对角线AC＝BD＝4，且两条对角线的夹角为60°，那么该四边形较短的“中对线”的长度为 ．
三．解答题
17．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
18．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由．
19．观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
参考答案
一．选择题
1．解：∵三角形的周长是16，
∴它的三条中位线围成的三角形的周长是16×＝8．
故选：C．
2．解：延长BE交AC于F，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△AEF和△AEB中，
，
∴△AEF≌△AEB（ASA）
∴AF＝AB＝10，BE＝EF，
∴CF＝AC﹣AF＝8，
∵BE＝EF，BD＝DC，
∴DE＝CF＝4，
故选：A．
3．解：如图，取CG的中点H，连接EH，
∵E是AC的中点，
∴EH是△ACG的中位线，
∴EH∥AD，
∴∠GDF＝∠HEF，
∵F是DE的中点，
∴DF＝EF，
在△DFG和△EFH中，，
∴△DFG≌△EFH（ASA），
∴FG＝FH，S△EFH＝S△DGF，
又∵FC＝FH+HC＝FH+GH＝FH+FG+FH＝3FH，
∴S△CEF＝3S△EFH，
∴S△CEF＝3S△DGF，
∴S△DGF＝×12＝4（cm2）．
故选：A．
4．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△AFG和△AFC中
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴GF＝CF，
∵AE为△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴EF∥AB，故①正确；
∵△AFG≌△AFC，
∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，
∵∠AGC＝∠B+∠BCG，
∴∠ACG＝∠B+∠BCG，
∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），
∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，
∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；
∵△AFG≌△AFC，
∴AC＝AG，
∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，
∵F、E分别是CG、BC的中点，
∴EF＝BG，
∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；
∵∠AFG＝90°，
∴∠EAF＜90°，
∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，
∴∠AFE＞∠EAF，
∴AE＞EF，
∵EF＝（AB﹣AC），
∴（AB﹣AC）＜AE，
延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，
∵在△ACE和△MBE中
∴△ACE≌△MBE（SAS），
∴AC＝MB，
在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，
∵AE＝EM，
∴2AE＜AB+AC，
∴AE＜（AB+AC），
即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；
故选：A．
5．解：连接DE，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝，
∵BC＝4BF＝4CG，
∴FG＝，
∴四边形DEFG为平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠DGE＝∠FDG＝80°，
∵∠DFE＝40°，
∴∠DOE＝80°+40°＝120°，
故选：B．
6．解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2.5，
∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，
故选：A．
7．解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
二．填空题（共9小题）
8．解：∵M、N分别为AC，BC的中点，
∴NM∥AB，AB＝2MN，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∵S△CMN＝2，
∴S△ABC＝8，
∴S四边形ABNM＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
9．解：△ABC的周长是m，即AB+AC+BC＝m，
∵E、D、F分别为BC、AB、AC中点，
∴DE＝AC，EF＝AB，DF＝CB，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝×（AB+AC+BC）＝m，
故答案为：m．
10．解：∵△ABC的周长是12cm，
∴△ABC三条中位线围成的三角形的周长＝×12＝6（cm）．
故答案为：6．
11．解：取AC的中点M，连接GM、EM，
∵G是AD的中点，E是BC 的中点，
∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，
∴GM＝DC，EM＝，GM∥CD，EM∥AB，
∵AB＝CD，
∴GM＝EM，
∴∠GEM＝∠EGM，
∵EM∥AB，
∴∠EMC＝∠BAC＝70°，
∴∠AME＝180°﹣70°＝110°，
∵GM∥CD，
∴∠AMG＝∠ACD＝30°，
∴∠EMG＝110°+30°＝140°，
∴∠EGM＝＝20°，
∴∠AFG＝∠EGM+∠AMG＝20°+30°＝50°，
故答案为50°．
12．解：延长CF交AB于H，
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA）
∴AH＝AC＝4，CF＝FH，
∴HB＝AB﹣AH＝7﹣4＝3，
∵CF＝FH，CD＝DB，
∴DF＝HB＝，
故答案为：．
13．解：在△ABC中，∵∠A+∠B＝136°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣136°＝44°，
∵△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，
∴MN∥BC，
∠ANM＝∠ACB＝44°．
故答案为：44．
14．
解：延长BD交AC于F，
∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴∠BAD＝∠FAD，∠ADB＝∠ADF，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，
∵点E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝，
∴2y＝x﹣4，
∴y＝．
故答案为：y＝．
15．解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），
∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，
①当∠APB＝90°时，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，
∴PN＝AB＝2.5，
则PM＝PN+MN＝4，
∴点P的坐标是（4，2）；
②当∠ABP＝90°时，过P作PE⊥x轴于E，连接AP，
设BE＝x，则PM＝OE＝x+3，
由勾股定理得，PB＝，AP＝，
在Rt△ABP中，AP＝＝，
则＝，
解得，x＝，
∴OE＝+3＝，
∴P（，2），
故答案为：（4，2）或（，2）．
16．解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设AC与EH交点M．
∴EH是三角形ABD的中位线，
∴EH＝BD＝2，EH∥BD，
同理，FG＝BD＝2，FG∥BD，EF＝AC＝2，EF∥AC，HG＝AC＝2，HG∥AC，
∴EH∥HG∥AC，EF＝FG＝HG＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵EH＝BD＝2，EH∥BD，
∴∠AOB＝60°＝∠AME，
∵FE∥AC，
∴∠FEH＝∠AME＝60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴HF＝EH＝2，
∴较短的“中对线”长度为2．
故答案为：2．
三．解答题（共4小题）
17．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
18．解：DF∥AB．理由如下：
如图，延长CF交AB于点G，
∵AE是角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△AGF和△ACF中，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴GF＝CF，
即点F是GC的中点，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF∥AB．
19．（1）证明：连接BD．
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线．
∴EH＝BD，EH∥BD．
同理得FG＝BD，FG∥BD．
∴EH＝FG，EH∥FG．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．