人教B版 (2019)必修 第二册5.4 统计与概率的应用学案

5.4　统计与概率的应用

知识点　生活中的概率及其应用

1．生活中的概率

概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的判断与决策．

2．概率的应用

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗

透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生．

1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(　　)

A．f(n)与某个常数相等

B．f(n)与某个常数的差逐渐减小

C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定

D　[随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．]

2.鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．

　[由题意得≈，∴N≈.]

类型1　统计在实际问题中的应用

【例1】　某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：

(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估算值及平均等待时间标准差的估计值s；

(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？

[解]　(1)易知＝ipi，s2＝(xi－)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．

＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min)．

s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)．

s＝≈5.34(min)．

∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.

(2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.

∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min.

1．用样本估计总体是统计学中的核心思想．

2．主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布．

3．平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据．

1．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”

(2)请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．

[解]　(1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．

(2)甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；

乙班学生成绩的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成绩之间差别较小，成绩很差的学生少，但成绩优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．

类型2　概率在整体估计中的应用

【例2】　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．

[思路探究]　利用古典概型的特征、等可能性可估计．

[解]　设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝.①

第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝.②

由①②两式，得＝，解得n＝1 500，

所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．

用古典概型概率的观点求随机事件的概率时，首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是相等的，其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率．

2．某家具厂为某游泳比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所产2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品．试问：该厂所产2 500套座椅中大约有多少套次品？

[解]　设有n套次品，由概率的统计定义可知≈，解得n≈125.

所以该厂所产2 500套座椅中大约有125套次品．

类型3　概率在决策中的应用

【例3】　某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．

(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；

(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

[解]　(1)当x≤19时，y＝3 800；

当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，

所以y与x的函数解析式为

y＝(x∈N)．

(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.

(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000(元)．

若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90＋4 500×10)＝4 050(元)．

比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．

概率在决策问题中的应用

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的频率．

(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量、实际生活中的决策问题等．

3．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

[解]　(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

用频率估计概率，可得所求概率为＝0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为

(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；

记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，

∴甲应选择L1；

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

P(B2)＞P(B1)，

∴乙应选择L2.

1．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)

A．64个 B．640个　　　

C．16个　　　 D．160个

C　[80×(1－80%)＝16.]

2．某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为(　　)

A． B． 

C．　　　 D．

B　[第一次接通电话的概率为，第二次接通电话的概率为×＝，第三次接通电话的概率为＝，所以拨号不超过三次就接通电话的概率为＋＋＝.故选B．]

3．从某批零件中随机抽出40个检查，发现合格产品有36个，则该批产品的合格率为(　　)

A．36%　 B．72% 

C．90%　　　　 D．25%

C　[用样本的合格率近似代替总体的合格率为×100%＝90%.]

4．事件A发生的概率是，则表示的________．

事件A发生的可能性的大小　[根据概率的含义知表示的是事件A发生的可能性大小．]

5．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为________．

　[由古典概型的概率公式可得碰到地雷的概率为＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．本节课主要掌握哪几类问题？

[提示]　(1)统计在实际问题中的应用．

(2)概率在整体估计中的应用．

(3)概率在决策中的应用．

2．本节课需要我们学习的主要思想是什么？

[提示]　用样本估计总体．