高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题

双曲线的定义

考向一  双曲线的定义

1、已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（  ）

A．双曲线     B．直线      C．线段        D．圆

答案：A

2、动点到定点的距离比它到定点的距离少，则点的轨迹是（   ）

A．双曲线   B．双曲线的一支   C．一条射线   D．两条射线

【答案】B

3、已知两定点，，动点满足，则当和4时，点的轨迹是（   ）

A．双曲线和一条直线     B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条射线    D．双曲线的一支和一条直线

【答案】C

4、与圆和圆都相切的圆的圆心轨迹是(　　)

A．椭圆
B．椭圆和双曲线的一支
C．双曲线和一条直线去掉几个点
D．双曲线的一支和一条直线去掉几个点

【答案】C

【解析】由，得，
画出圆：和圆的图形如图，
设动圆圆心为，半径为，
当动圆与两圆外切时，有，，
则，
的轨迹为以、为焦点的双曲线左支
当动圆与两圆内切时，有，，
则，
的轨迹为以、为焦点的双曲线右支
当动圆与两圆其中一个内切一个外切时，的轨迹为直线除掉线段上的点．
故选C．

5、已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是           。

【答案】一条射线

【解析】　F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．

6、若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

解析：

∵｜AA′｜＝2，

∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．

(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．

(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．

7、双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是            。．

【答案】2或22

【解析】依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22。

8、P是双曲线上的一点，F1，F2为焦点，若，则______．

【答案】13

【解析】双曲线，其中

又由P是双曲线上一点，则有，

又由，解得，

因为，所以只有满足题意。

9、已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于（   ）

A． 2    B． 4    C． 5    D． 6

【答案】D

【解析】

由题意得,负值舍去，所以选D.

10、如图所示，F为双曲线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（　　）

A．9    B．16    C．18    D．27

【答案】C

【解析】设右焦点为F′，

∵双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称   

∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称

∴|FP1|=|F/P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F/P4|，

∵|F/P6|﹣|P6F|=2a=6，|F/P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，

∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18

考向二  求双曲线的标准方程

1、在中，已知，，且，则的轨迹方程是(　　)

A．                  
B．
C．             
D.

【答案】B

【解析】，由正弦定理得，即，由双曲线的定义可知
点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且，，．
顶点的轨迹方程为．
故选：．

2、已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与这两个圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为________ ．

【答案】

【解析】
由题意可知：圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径
设动圆与圆和圆都相外切，设动圆的半径为
则，，所以
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线，，，且
所以动圆圆心的轨迹方程为：

3、求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点分别为，，且经过点；

（2），且经过点；

（3）经过点，；

【答案】见解析

【解析】（1）由题易知焦点在y轴上，设双曲线的方程

则，所以所求双曲线的标准方程为

（2）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为(b＞0)

又双曲线经过点，所以，则，不符合题意

当焦点在y轴上时，设双曲线方程为(b＞0)

又双曲线经过点，所以，解得

所以所求双曲线的标准方程为

4、已知，，点满足，记点的轨迹为．求轨迹的方程．

【答案】。

【解析】由可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，

由，∴，故轨迹的方程为.

5、如图，已知两点，的内切圆的圆心在直线上移动，求点的轨迹方程。

答案：

解析：设内切圆切边于点，则，得点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（不含右顶点），由，得。

所以点的轨迹方程为

考向三  双曲线的标准方程

1、若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是       。

【答案】(－1，＋∞)

【解析】依题意，应有m＋1>0，即m>－1.

2、若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为_____________．

【答案】

【解析】由题可得或，解得或

3、已知命题关于的方程有实数根，命题方程 表示双曲线.

（1）若是真命题，求的取值范围;

（2）若命题是真命题，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

考向四  线段和与差的最值计算

1、   已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为(   )

A．8    B．9    C．10    D．11

【答案】B

【解析】由题意可得2a＝6，即a＝3，

渐近线方程为，即有，即b＝1，

可得双曲线方程为

焦点为F1（-，0），F2，（，0），

由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，

由圆E：可得E（0，），半径r＝1，

|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，

连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，

可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|=4，

则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．

2．设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A、B两点，则的最小值为（    ）

A．16    B．12    C．11    D．

【答案】C

【解析】由双曲线的定义，得

3、设双曲线的左、右焦点分别为．若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是（　　）

A．       B．    C．    D．

答案：A

解析：不妨设在第一象限，点在与之间运动，求出和为直角时的值，可得为锐角三角形时的取值范围．

为锐角三角形，不妨设在第一象限，点在与之间运动，如图，

①当在处，，

由，

可得，

此时，

②当在处，，，易知，

此时，

所以为锐角三角形，则的取值范围是，

故选：A．

4、已知曲线右焦点为，为双曲线左支点上一点，点，则周长的最小值为（　　）

A．    B．       C．     D．

答案：A

解析：利用双曲线的性质，转化求解三角形的面积的最小值，判断最小值的位置是解题关键．

曲线右焦点为,左焦点设为，

的周长，

要的周长最小，只需，最小，

如图，当且仅当三点共线时取到，故周长最小．

故选：A．

5、已知双曲线，M为其右支上一动点，F为其右焦点，点A（3，1），则的最小值为______.

【答案】

【解析】

设双曲线的左焦点为，则.

∴当、、三点共线时有最小值

∵双曲线的方程为

∴，

∴

∵

∴的最小值为

故答案为.