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北师大版九年级下册1 圆教学设计
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这是一份北师大版九年级下册1 圆教学设计，共31页。
第三章 圆
3.1 圆 教学设计
1.回顾圆的基本概念.
2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)
3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)
阅读教材P65～66，完成预习内容.
(一)知识探究
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d
1.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示，图中共有2条弦.
3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.
活动1 小组讨论
例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0
例2 ⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.
与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.
例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.
(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.
解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求；
图1 图2
(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；
(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.
活动2 跟踪训练
1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.
2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0
这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.
4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.
(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？
(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3
活动3 课堂小结
1.这节课你学了哪些知识？
2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？
3.2 圆的对称性
1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.
2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)
阅读教材P70～71，完成预习内容.
(一)知识探究
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
(二)自学反馈
1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2.在⊙O中，AB、CD是两条弦.
(1)如果AB＝CD，那么＝，∠AOB＝∠COD；
(2)如果＝，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，＝.
活动1 小组讨论
例 如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE＝CE.理由是：∵∠AOD＝∠BOE，∴＝.
又∵＝，[来源:学+科+网]
∴＝.
∴BE＝CE.
活动2 跟踪训练
1.如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，则∠BAC＝30°.
2.如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵＝，∴AB＝AC.
又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC＝BC.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
3.如图，已知在⊙O中，BC是直径，＝，∠AOD＝80°，求∠AOB的度数.
解：∵＝，
∴∠AOB＝∠DOC.
∵∠AOD＝80°，
∴∠AOB＝∠DOC＝(180°－80°)＝50°.
活动3 课堂小结
圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.
*3.3 垂径定理
1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).
2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)
阅读教材P74～75，完成预习内容.
(一)知识探究
1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE＝DE；④＝；⑤＝.
2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(二)自学反馈
1.如图，弦AB⊥直径CD于E，相等的线段有：AE＝EB，CO＝DO；相等的弧有：＝，＝，＝.
2.在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离OC为3 cm，则弦AB的长为8_cm.
活动1 小组讨论
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径.
解：连接OC.
设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即
R2＝3002＋(R－90)2.
解得R＝545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
活动2 跟踪训练
1.如图，在⊙O中，弦AB＝4 cm，点O到AB的距离OC的长是2 cm，则⊙O的半径是4_cm.
2.CD是⊙O的直径，AB是弦，且AB⊥CD，垂足是E，如果CE＝2、AB＝8，那么ED＝8，⊙O的半径r＝5.
3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
过圆心作垂径是圆中常用辅助线.
活动3 课堂小结
用垂径定理及其推论进行有关的计算.
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及其推论1
1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)
2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)
阅读教材P78～80，完成预习内容.
(一)知识探究
1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.
2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.同弧或等弧所对的圆周角相等.
(二)自学反馈
1.如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，则∠BAC＝50°.
2.如图所示，点A、B、C在圆周上，∠A＝65°，则∠D＝65°.
活动1 小组讨论
例1 如图所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝65°.
例2 如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝64°.
(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形.
活动2 跟踪训练
1.如图，锐角△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，∠OAC＝20°，则∠B＝70°.
2.OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB是劣弧所对的圆心角，∠ACB是劣弧所对的圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB.
同理∠BOC＝2∠BAC.
∵∠AOB＝2∠BOC.
∴∠ACB＝2∠BAC.
求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.
活动3 课堂小结
圆周角的定义、定理及推论.
第2课时 圆周角定理的推论2、3
1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)
阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容.
(一)知识探究
1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.
(二)自学反馈
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD＝110°，则∠BCD等于(C)
A.110° B.90° C.70° D.20°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是55°.
活动1 小组讨论
例1 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
[来源:学科网ZXXK]
例2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝120°，则∠CBE的度数是120°.
例3 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
∵＝，
∴∠E＝∠C.
∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD.
涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.
活动2 跟踪训练
1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)
A.1 B. C. D.2
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.
3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.
4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数.
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
活动3 课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师强调：
①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质；
③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.
3.5 确定圆的条件
1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形的外接圆及外心等概念.(重点)
2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.(难点)
阅读教材P85～86做一做，完成预习内容.
(一)知识探究
1.(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？
解：无数个.
(2)经过两个已知点C、B画圆.
想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？
解：无数个.
②圆心在哪儿？半径怎么确定？
解：圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B(C)的距离.
2.设三点A，B，C不在同一直线上.
(1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？
解：圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点.
(2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？
已知不在同一直线上的三点A，B，C，求作圆O，使它经过点A，B，C.
作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；
③以EF和MN的交点O为圆心，以OA(或OB或OC)为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.
(3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？
解：1个.
(4)过同一直线上的三点A，B，C能作一个圆吗？
解：不能.
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
强调：①过同一直线上三点不行；②“确定”一词应理解成“有且只有”.
3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.
(二)自学反馈
1.下列说法错误的是(C)
A.过一点有无数多个圆
B.过两点有无数多个圆
C.过三点只能确定一个圆
D.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)
A.点P B.点Q C.点R D.点M
活动1 小组讨论
例 作出下列三角形的外接圆(只要作图痕迹，不要求作法)
解：略.
活动2 跟踪训练
1.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形.
2.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为(2，0).
3.⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD是⊙O的直径，连接AD.求AD的长.
解：∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝30°.∴∠D＝30°.
又∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6.∴AD＝＝3.
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
1.了解直线和圆的三种位置关系及相关概念；能运用直线与圆的位置关系解决问题.
2.理解和掌握圆的切线的性质；能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明.(重难点)
阅读教材P89～91，完成预习内容.
(一)知识探究
1.直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.
2.设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：
(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交.
(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切.
(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离.
3.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.那么：
(1)直线l和⊙O相交⇔d＜r；
(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；
(3)直线l和⊙O相离⇔d＞r.
4.圆的切线垂直于过切点的半径.
(二)自学反馈
1.设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔dr.
2.已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是相交.
3.已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3cm.
4.如图，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为2，AB＝4，则OA的长是6.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D等于40°.
活动1 小组讨论
例1 已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm.
∴cosA＝＝.
∴∠A＝60°.
∴CD＝AC·sinA＝4sin60°＝2(cm).
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切.
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点.直线PO与⊙O交于B、C两点，∠C＝30°，AP＝，连接AO、AB、AC.求⊙O的半径.
解：∵OA＝OC，∠C＝30°，
∴∠AOP＝60°.
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
在Rt△AOP中，∠AOP＝60°，AP＝，
∴AO＝1，即⊙O的半径为1.
已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再分析题中的关系，合理解答问题.
活动2 跟踪训练
1.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交.直线a与⊙O的公共点个数是2个.
2.已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相离.
3.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16.求OA的长.
解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.
∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.
∴AC＝BC＝AB＝8.
∵OC＝6，∴OA＝＝10.
活动3 课堂小结
1.直线与圆的三种位置关系.
2.根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系.
3.切线性质：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径；
③圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.能运用切线性质定理进行计算与证明.
5.掌握常见的关于切线的辅助线作法.
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
1.理解和掌握圆的切线的判定定理；能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明.(重点)
2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.会进行三角形内切圆的相关计算.(难点)
阅读教材P92～93，完成预习内容.
(一)知识探究
1.经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
(二)自学反馈
1.下列说法中，正确的是(B)
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
2.已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，如果以AD为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有(D)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O，则⊙O与AC的位置关系是相切.
4.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60度时，AC与⊙O相切.
活动1 小组讨论
例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线.
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠COD＝60°.
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
例2 如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
解：1.作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示).
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径为⊙I.
⊙I就是所求的圆.
例3 如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F.
(1)求证：四边形ODCE是正方形.
(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.
解：(1)证明略；(2).
这里(2)的结论可记住作为公式来用.
活动2 跟踪训练
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O相切.
证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP.
∴直线CP与⊙O相切.
活动3 课堂小结
1.判定切线的方法有哪些？
直线l
2.常用的添辅助线方法：
(1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直.
(2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径.
3.会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用.
*3.7 切线长定理
理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.(难点)
阅读教材P94～95，完成预习内容.
(一)知识探究
1.过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
2.过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
(二)自学反馈
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA＝6 cm，则PB＝6cm.
2.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝60度.
3.自学教材P95随堂练习.
活动1 小组讨论
例 如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB＝12 cm，梯形面积为120 cm2，求CD的长.
解：20 cm.
这里CD＝AD＋BC.
活动2 跟踪训练
1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)
A.9 B.10 C.12 D.14
活动3 课堂小结
能根据切线长定理进行相关计算.
3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形的概念.
2.会进行有关圆与正多边形的计算.(重点)
3.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，并能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形.(难点)
阅读教材P97～98，完成预习内容.
(一)知识探究
1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于.
3.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
(二)自学反馈
1.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6.
2.已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18cm.
3.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是互补.
4.圆内接正方形的半径与边长的比是1∶；圆内接正方形的边长为4 cm，那么边心距是2cm.
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
活动1 小组讨论
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形.
∴∠COD＝＝60°.
∴△COD为等边三角形.
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2.
∴OG＝＝＝2.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.
活动2 跟踪训练
1.正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于12.
2.若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为2∶1.
3.正八边形有8条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是中心对称图形.
正n边形的中心对称性和轴对称性.
4.有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数.
解：10，5.
本题应用方程的方法来解决.
5.教材第99页习题.
活动3 课堂小结
1.正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
2.正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数.
3.通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形.
4.用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.
3.9 弧长及扇形的面积
1.了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式.
2.探索n°的圆心角所对的弧长l＝、扇形面积S＝和S＝lR的计算公式，并应用这些公式解决相关问题.(重难点)
阅读教材P100～101，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.
2.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.
3.半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.
(二)自学反馈
1.已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.[来源:Z,xx,k.Com]
2.一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2.
3.在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18cm.
4.已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于_π.
活动1 小组讨论
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm).
解：R＝40 mm，n＝110，所以
的长＝πR＝×40π≈76.8(mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2).
解：的长＝π×12≈25.1(cm).
S扇形＝π×122≈150.7(cm2).
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
活动2 跟踪训练
1.已知扇形的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm.
2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°，弓形的弦AB长为12，则这个弓形的面积为16π－12.
弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积.
3.已知，如图，AC是⊙O的直径，AB、BD是弦，AC⊥BD于F，∠A＝30°，OF＝ cm，求图中阴影部分的面积.
解：∵AC⊥BC于F，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∠BOD＝120°，
∵OF＝ cm，
∴OB＝2 cm.
∴S扇形＝＝4π(cm2).
活动3 课堂小结
1.n°的圆心角所对的弧长公式l＝.
2.n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝S=.
3.圆环的面积求法.
第三章 圆
3.1 圆 教学设计
1.回顾圆的基本概念.
2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、半圆、等圆、等弧等.(重点)
3.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系.(难点)
阅读教材P65～66，完成预习内容.
(一)知识探究
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
2.设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d
1.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示，图中共有2条弦.
3.在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在圆内.
活动1 小组讨论
例1 ⊙O的半径为2 cm，则它的弦长d的取值范围是0
例2 ⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是等边三角形.
与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.
例3 已知AB＝4 cm，画图说明满足下列条件的图形.
(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离大于3 cm，且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.
解：(1)如图1，分别以点A和B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的交点C、D为所求；
图1 图2
(2)如图1，分别以点A和点B为圆心，3 cm为半径画⊙A与⊙B，两圆的重叠部分为所求；
(3)如图2，以点A为圆心，3 cm为半径画⊙A，以点B为圆心，2 cm为半径画⊙B，则⊙B中除去两圆的重叠部分为所求.
活动2 跟踪训练
1.已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的内部.
2.已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足0
这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数.
4.如图，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm、AD＝4 cm.
(1)以点A为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系怎样？
(2)若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3
活动3 课堂小结
1.这节课你学了哪些知识？
2.学会了哪些解圆的有关问题的技巧？
3.2 圆的对称性
1.理解圆的轴对称性及其中心对称性.
2.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.(重难点)
阅读教材P70～71，完成预习内容.
(一)知识探究
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.
(二)自学反馈
1.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2.在⊙O中，AB、CD是两条弦.
(1)如果AB＝CD，那么＝，∠AOB＝∠COD；
(2)如果＝，那么AB＝CD，∠AOB＝∠COD；[来源:学.科.网Z.X.X.K]
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝CD，＝.
活动1 小组讨论
例 如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE＝CE.理由是：∵∠AOD＝∠BOE，∴＝.
又∵＝，[来源:学+科+网]
∴＝.
∴BE＝CE.
活动2 跟踪训练
1.如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，则∠BAC＝30°.
2.如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵＝，∴AB＝AC.
又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形.
∴AB＝AC＝BC.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
3.如图，已知在⊙O中，BC是直径，＝，∠AOD＝80°，求∠AOB的度数.
解：∵＝，
∴∠AOB＝∠DOC.
∵∠AOD＝80°，
∴∠AOB＝∠DOC＝(180°－80°)＝50°.
活动3 课堂小结
圆心角、弧、弦是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.
*3.3 垂径定理
1.通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论.(重点).
2.能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.(难点)
阅读教材P74～75，完成预习内容.
(一)知识探究
1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A、B两点；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE＝DE；④＝；⑤＝.
2.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(二)自学反馈
1.如图，弦AB⊥直径CD于E，相等的线段有：AE＝EB，CO＝DO；相等的弧有：＝，＝，＝.
2.在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离OC为3 cm，则弦AB的长为8_cm.
活动1 小组讨论
例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径.
解：连接OC.
设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.
∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即
R2＝3002＋(R－90)2.
解得R＝545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
活动2 跟踪训练
1.如图，在⊙O中，弦AB＝4 cm，点O到AB的距离OC的长是2 cm，则⊙O的半径是4_cm.
2.CD是⊙O的直径，AB是弦，且AB⊥CD，垂足是E，如果CE＝2、AB＝8，那么ED＝8，⊙O的半径r＝5.
3.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
过圆心作垂径是圆中常用辅助线.
活动3 课堂小结
用垂径定理及其推论进行有关的计算.
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理及其推论1
1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角.(重点)
2.理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆推论1，能在证明或计算中熟练地应用它们处理相关问题.(难点)
阅读教材P78～80，完成预习内容.
(一)知识探究
1.顶点在圆上，它的两边与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.
2.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
3.同弧或等弧所对的圆周角相等.
(二)自学反馈
1.如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，则∠BAC＝50°.
2.如图所示，点A、B、C在圆周上，∠A＝65°，则∠D＝65°.
活动1 小组讨论
例1 如图所示，点A、B、C在⊙O上，连接OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝65°.
例2 如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝64°.
(1)求圆周角通常先求同弧所对的圆心角.(2)求圆心角可先求对应的圆周角.(3)连接OC，构造圆心角的同时构造等腰三角形.
活动2 跟踪训练
1.如图，锐角△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，∠OAC＝20°，则∠B＝70°.
2.OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB是劣弧所对的圆心角，∠ACB是劣弧所对的圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB.
同理∠BOC＝2∠BAC.
∵∠AOB＝2∠BOC.
∴∠ACB＝2∠BAC.
求圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角.
活动3 课堂小结
圆周角的定义、定理及推论.
第2课时 圆周角定理的推论2、3
1.进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明.(重点)
2.掌握圆内接四边形的有关概念及性质.(难点)
阅读教材P81(问题解决)～83(议一议)，完成预习内容.
(一)知识探究
1.直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
2.四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.
(二)自学反馈
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD＝110°，则∠BCD等于(C)
A.110° B.90° C.70° D.20°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是55°.
活动1 小组讨论
例1 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
[来源:学科网ZXXK]
例2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝120°，则∠CBE的度数是120°.
例3 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
∵＝，
∴∠E＝∠C.
∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD.
涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.
活动2 跟踪训练
1.如图，⊙O的直径AB＝4，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，则AC的长是(D)
A.1 B. C. D.2
2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4.
3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°，则∠BOD＝140度.
4.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数.
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
活动3 课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师强调：
①直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质；
③在圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形.
3.5 确定圆的条件
1.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆以及三角形的外接圆及外心等概念.(重点)
2.经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.(难点)
阅读教材P85～86做一做，完成预习内容.
(一)知识探究
1.(1)经过一个已知点A画圆；想一想：经过已知点A可以画多少个圆？
解：无数个.
(2)经过两个已知点C、B画圆.
想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？
解：无数个.
②圆心在哪儿？半径怎么确定？
解：圆心选取线段BC的垂直平分线上任意一点.半径取这一点与点B(C)的距离.
2.设三点A，B，C不在同一直线上.
(1)过三点A，B，C的圆的圆心在哪儿？怎么确定？
解：圆心为线段AB，BC垂直平分线的交点.
(2)过不在同一直线上的三点A，B，C如何作圆？
已知不在同一直线上的三点A，B，C，求作圆O，使它经过点A，B，C.
作法：①连接AB，作线段AB的垂直平分线EF；
②连接BC，作线段BC的垂直平分线MN；
③以EF和MN的交点O为圆心，以OA(或OB或OC)为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.
(3)过不在同一直线上的三点A，B，C能作多少个圆？
解：1个.
(4)过同一直线上的三点A，B，C能作一个圆吗？
解：不能.
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
强调：①过同一直线上三点不行；②“确定”一词应理解成“有且只有”.
3.经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点.
(二)自学反馈
1.下列说法错误的是(C)
A.过一点有无数多个圆
B.过两点有无数多个圆
C.过三点只能确定一个圆
D.过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)
A.点P B.点Q C.点R D.点M
活动1 小组讨论
例 作出下列三角形的外接圆(只要作图痕迹，不要求作法)
解：略.
活动2 跟踪训练
1.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形.
2.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为(2，0).
3.⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD是⊙O的直径，连接AD.求AD的长.
解：∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.
又∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝30°.∴∠D＝30°.
又∵AB＝3，∴BD＝2AB＝6.∴AD＝＝3.
活动3 课堂小结
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
3.6 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质
1.了解直线和圆的三种位置关系及相关概念；能运用直线与圆的位置关系解决问题.
2.理解和掌握圆的切线的性质；能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明.(重难点)
阅读教材P89～91，完成预习内容.
(一)知识探究
1.直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.
2.设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：
(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交.
(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切.
(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离.
3.设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.那么：
(1)直线l和⊙O相交⇔d＜r；
(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；
(3)直线l和⊙O相离⇔d＞r.
4.圆的切线垂直于过切点的半径.
(二)自学反馈
1.设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d
2.已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是相交.
3.已知⊙O的半径r＝3 cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3cm.
4.如图，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为2，AB＝4，则OA的长是6.
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，∠B＝25°，则∠D等于40°.
活动1 小组讨论
例1 已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm.
∴cosA＝＝.
∴∠A＝60°.
∴CD＝AC·sinA＝4sin60°＝2(cm).
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切.
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
例2 如图，PA为⊙O的切线，A为切点.直线PO与⊙O交于B、C两点，∠C＝30°，AP＝，连接AO、AB、AC.求⊙O的半径.
解：∵OA＝OC，∠C＝30°，
∴∠AOP＝60°.
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
在Rt△AOP中，∠AOP＝60°，AP＝，
∴AO＝1，即⊙O的半径为1.
已知圆的切线，利用圆的切线性质解题时，一般先要作出过切点的半径，再分析题中的关系，合理解答问题.
活动2 跟踪训练
1.已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交.直线a与⊙O的公共点个数是2个.
2.已知⊙O的直径是6 cm，圆心O到直线a的距离是4 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相离.
3.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A＝∠B，⊙O的半径为6，AB＝16.求OA的长.
解：连接OC，∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB.
∵∠A＝∠B，∴OA＝OB.
∴AC＝BC＝AB＝8.
∵OC＝6，∴OA＝＝10.
活动3 课堂小结
1.直线与圆的三种位置关系.
2.根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系.
3.切线性质：
①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径；
③圆的切线垂直于经过切点的半径.
4.能运用切线性质定理进行计算与证明.
5.掌握常见的关于切线的辅助线作法.
第2课时 切线的判定与三角形的内切圆
1.理解和掌握圆的切线的判定定理；能运用圆的切线的判定定理进行相关的计算和证明.(重点)
2.了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆.会进行三角形内切圆的相关计算.(难点)
阅读教材P92～93，完成预习内容.
(一)知识探究
1.经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
(二)自学反馈
1.下列说法中，正确的是(B)
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
2.已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，如果以AD为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有(D)
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O，则⊙O与AC的位置关系是相切.
4.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60度时，AC与⊙O相切.
活动1 小组讨论
例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：CD是⊙O的切线.
证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠COD＝60°.
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
例2 如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切.
解：1.作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示).
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径为⊙I.
⊙I就是所求的圆.
例3 如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F.
(1)求证：四边形ODCE是正方形.
(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.
解：(1)证明略；(2).
这里(2)的结论可记住作为公式来用.
活动2 跟踪训练
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AE交⊙O于点E，AE⊥CP于点D，如果AC平分∠DAB.求证：直线CP与⊙O相切.
证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.
又∵AD⊥CP，
∴OC⊥CP.
∴直线CP与⊙O相切.
活动3 课堂小结
1.判定切线的方法有哪些？
直线l
2.常用的添辅助线方法：
(1)直线与圆的公共点已知时，则连半径，证垂直.
(2)直线与圆的公共点不确定时，则作垂直，证半径.
3.会进行三角形的内切圆相关计算及内心，直角三角形内切圆半径公式的应用.
*3.7 切线长定理
理解并掌握切线长定理、能熟练运用所学定理来解答问题.(难点)
阅读教材P94～95，完成预习内容.
(一)知识探究
1.过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
2.过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
(二)自学反馈
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA＝6 cm，则PB＝6cm.
2.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝60度.
3.自学教材P95随堂练习.
活动1 小组讨论
例 如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB＝12 cm，梯形面积为120 cm2，求CD的长.
解：20 cm.
这里CD＝AD＋BC.
活动2 跟踪训练
1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是(B)
A.4 B.8 C.4 D.8
2.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)
A.9 B.10 C.12 D.14
活动3 课堂小结
能根据切线长定理进行相关计算.
3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形的概念.
2.会进行有关圆与正多边形的计算.(重点)
3.会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形，并能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形.(难点)
阅读教材P97～98，完成预习内容.
(一)知识探究
1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于.
3.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
(二)自学反馈
1.如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为6.
2.已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为18cm.
3.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是互补.
4.圆内接正方形的半径与边长的比是1∶；圆内接正方形的边长为4 cm，那么边心距是2cm.
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
活动1 小组讨论
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
解：连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形.
∴∠COD＝＝60°.
∴△COD为等边三角形.
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，GC＝BC＝×4＝2.
∴OG＝＝＝2.
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2.
活动2 跟踪训练
1.正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于12.
2.若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为2∶1.
3.正八边形有8条对称轴，它不仅是轴对称图形，还是中心对称图形.
正n边形的中心对称性和轴对称性.
4.有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数.
解：10，5.
本题应用方程的方法来解决.
5.教材第99页习题.
活动3 课堂小结
1.正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
2.正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数.
3.通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形.
4.用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.
3.9 弧长及扇形的面积
1.了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式.
2.探索n°的圆心角所对的弧长l＝、扇形面积S＝和S＝lR的计算公式，并应用这些公式解决相关问题.(重难点)
阅读教材P100～101，完成预习内容.
(一)知识探究
1.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是，n°的圆心角所对的弧长是.
2.在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是，n°的圆心角所对应的扇形面积是.
3.半径为R，弧长为l的扇形面积S＝lR.
(二)自学反馈
1.已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长的长是3π.[来源:Z,xx,k.Com]
2.一个扇形所在圆的半径为3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2.
3.在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6π cm，那么这个圆的半径r＝18cm.
4.已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于_π.
活动1 小组讨论
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1 mm).
解：R＝40 mm，n＝110，所以
的长＝πR＝×40π≈76.8(mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
例2 扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2).
解：的长＝π×12≈25.1(cm).
S扇形＝π×122≈150.7(cm2).
因此，的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2.
活动2 跟踪训练
1.已知扇形的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm.
2.已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°，弓形的弦AB长为12，则这个弓形的面积为16π－12.
弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积.
3.已知，如图，AC是⊙O的直径，AB、BD是弦，AC⊥BD于F，∠A＝30°，OF＝ cm，求图中阴影部分的面积.
解：∵AC⊥BC于F，∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠OBF＝30°，∠BOD＝120°，
∵OF＝ cm，
∴OB＝2 cm.
∴S扇形＝＝4π(cm2).
活动3 课堂小结
1.n°的圆心角所对的弧长公式l＝.
2.n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝S=.
3.圆环的面积求法.
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