（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（2）

这是一份（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷 数学（2），共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，流行病学基本参数，给出定义等内容，欢迎下载使用。
（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则等于（    ）A． B． C． D．2．若，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件3．向量，满足，，与的夹角为60°，则（    ）A． B． C．4 D．24．m，n为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．某服装厂引进新技术，其生产服装的产量（百件）与单位成本（元）满足回归直线方程，则以下说法正确的是（    ）A．产量每增加100件，单位成本约下降元B．产量每减少100件，单位成本约上升元C．产量每增加100件，单位成本约上升元D．产量每减少100件，单位成本约下降元6．已知函数在处取得最小值，则函数的一个单调递减区间为（    ）A． B． C． D．7．流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（    ）A．1．2 B．1．7 C．2．0 D．2．58．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为1；④函数的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中正确的是（    ）A．该教师退休前每月储蓄支出2400元B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C．该教师退休工资收入为6000元月D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少10．已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．11．设函数，则（    ）A．的最大值为2 B．在区间上单调递增C．是偶函数  D．的图象关于点对称12．若实数，满足，以下选项中正确的有（    ）A．的最大值为  B．的最小值为C．的最小值为5 D．的最小值为 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知三棱锥相邻的两条棱长分别为3和4，其余棱长均为5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．14．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______．15．如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西60°方向，则、两岛屿的距离为______海里．16．在等差数列中，若，，则_____；使得数列前项的和取到最大值的_____． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．在中，角，，的对边分别为，，，若，，______，求的面积．                 18．（12分）如图，四棱锥中底面为矩形，底面，，，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）求三棱锥的体积．                     19．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．证明：．                     20．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占．如下表： 在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生   美国高中生   合计   （1）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率．附：，其中．0．0500．0250．0100．0013．8415．0246．63510．828                 21．（12分）设，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求a，b．                         22．（12分）已知函数，其中为常数，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若在处取得极值，且在的最大值为1，求的值．       
（新高考）2021届高三第一次模拟考试卷数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】，，故选D．2．【答案】A【解析】由，知：当且仅当时取等号，当时，有，而由上知，即，∴；当时，若，显然，故不一定有，∴是的充分不必要条件，故选A．3．【答案】D【解析】由已知可知：，∴，故选D．4．【答案】B【解析】A．因为，，所以当时，不满足，故错误；B．根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B正确；C．因为，，所以可能是异面直线，故错误；D．因为，，所以时也满足，故错误，故选B．5．【答案】A【解析】表示产量每增加100件，单位成本约下降元，故选A．6．【答案】D【解析】因为，且在处有最小值，所以，所以，所以，取的一个值为，所以，令，所以，令，所以此时单调递减区间为，故选D．7．【答案】B【解析】把，代入，得，解得，所以，由，得，则，两边取对数得，得，故选B．8．【答案】C【解析】①∵(其中m为整数)，∴，∴，∴函数的值域为；②由定义知：当时，，；当时，，，故在上不是增函数，所以②不正确；③由，得，∴，∴，所以函数是周期函数，最小正周期为1；④由②可知：在时，关于y周对称；又由③可知：函数是周期函数，最小正周期为1，∴函数的图象关于直线对称，正确结论为①③④，故选C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．【答案】ACD【解析】退休前工资收入为8000元月，每月储蓄的金额占，则该教师退休前每月储蓄支出元，故A正确；该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为元月，则，即元月，故C正确；该教师退休前的旅行支出为元，退休后的旅行支出为元，该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的倍，故B错误；该教师退休前的其他支出为元，退休后的其他支出为元，该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正确，故选ACD．10．【答案】AD【解析】A．在上单调递减，所以当时，，故A正确；B．当时，不成立，故B不正确；C．当时，，两边同时除以，得，故C不正确；D．当时，两边同时乘以，得，或两边同时乘以，得，所以，故D正确，故选AD．11．【答案】CD【解析】．选项A：的最大值为，A错误；选项B：，所以，因此是单调递减，B错误；选项C：，它是偶函数，C正确；选项D：由，得，所以函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，D正确，故选CD．12．【答案】AD【解析】对A，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最大值为，故A正确；对B，因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故B错误；对C，因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，不符合题意，故C错误；对D，因为，，所以，即，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为，故D正确，故选AD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】设在三棱锥中，，，，．取的中点，则平面，故的外心就是外接球的球心，，故求得表面积为，故答案为．14．【答案】【解析】由题意可得，解得且，因此，实数的取值范围是，故答案为．15．【答案】【解析】连接AB，依题意，，，中，，故由正弦定理得，即，得．中，，故．中，，故由余弦定理得，，故答案为．16．【答案】95【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，，解得，．∴．令，解得．∴使得数列前项的和取到最大值的．故答案为9；5． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】条件选择见解析，面积为．【解析】选择条件①：因为，所以，所以，因为，所以，所以，，所以．选择条件②：因为，所以，即，所以，，因为，所以，所以．选择条件③：因为，由正弦定理可得，所以，即，所以，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连接，．∵为的中点，∴且，∵为矩形，∴，，∵为的中点，∴四边形为平行四边形，∴．∵，为的中点，∴，∵底面，∴，∵，，∴平面，∵，∴，∵，∴平面，∵，平面．（2）由（1）知，，且为以为底面的三棱锥的高，∵，∴，∴．19．【答案】（1），；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，所以，故，当时，，当时，，且也满足上式，所以数列的通项公式为，．（2），所以．20．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为；（2）．【解析】（1）由已知得 在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关．（2）用分层抽样的方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为，，，．∵，∴．设含有在“个人空间”感到幸福的学生为事件A，，∴，则．21．【答案】（1）；（2），．【解析】由题意知，，设，则，又因为，解得，所以．（1）若直线的斜率为则，即，将代入，得，所以，解得或（舍去），故的离心率为．（2）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即，①由，得，即，设，由题意知，则，即，所以，把点代入C的方程，得，②将①及代入②得，解得，，故，所以，．22．【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减；（2）或．【解析】（1），，令，得或1，则列表如下：1+00+增极大值减极小值增所以在和上单调递增，在上单调递减．（2）∵，令，，，因为在处取得极值，所以．①时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得；②当，；(i)当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，∴，∴，(ii)当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得而，所以，解得，与矛盾；(iii)当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，综上所述，或．