北京市丰台区2021届高三年级二模考试数学试题及答案

这是一份北京市丰台区2021届高三年级二模考试数学试题及答案，共12页。试卷主要包含了04等内容，欢迎下载使用。
 丰台区2021届高三年级二模考试数学试卷2021.04本试卷满分共150分  考试时间120分钟注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函数中，在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，若，则（A）（B）（C）（D）（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则（A）（B）（C）（D）（5）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则（6）“”是“直线与直线相互垂直”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知双曲线的渐近线与圆相切，则（A）（B）（C）（D）（8）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（A）（B）（C）（D）（9）某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（A）15（B）45（C）60（D）75（10）如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中．和分别是“果圆”与轴，轴的交点．给出下列三个结论：① ；② 若，则；③ 若在“果圆”轴右侧部分上存在点，使得，则.其中，所有正确结论的序号是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）函数的值域为_____．（12）能够说明“若均为正数，则”是假命题的一组整数的值依次为_____． （13）已知点为抛物线上的点，且点到抛物线焦点的距离为3，则_____． （14）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在中，若，则_____．图1                   图2（15）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ①          ； ②          是函数的周期； ③          函数在区间上单调递增； ④          函数所有零点之和为． 其中，正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题13分）已知数列中，，且满足         .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.   （17）（本小题14分）某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图．根据所得的满意度的分数，将用户的满意度分为两个等级：满意度的分数满意度的等级不满意满意（Ⅰ）从使用该软件的用户中随机抽取1人，估计其满意度的等级为“满意”的概率；（Ⅱ）用频率估计概率，从使用该软件的所有用户中随机抽取2人，以表示这2人中满意度的等级为“满意”的人数，求的分布列和数学期望．    （18）（本小题14分）如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点为棱上一点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．   （19）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）求函数的单调区间．
（20）（本小题15分）已知椭圆，过点的直线交椭圆于点．（Ⅰ）当直线与轴垂直时，求；（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由．      （21）（本小题14分）设数集满足：①任意,有；②任意,有或，则称数集具有性质.（Ⅰ）判断数集是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）若数集且具有性质.(ⅰ)当时，求证：是等差数列；(ⅱ)当不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）  （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
 参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案BDAABACDCD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．          12．1,2（答案不唯一）      13．14．               15．①③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（本小题13分）解：选①（Ⅰ）因为,所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.所以.所以数列的通项公式为.（Ⅱ）,所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.所以.………………………13分选②（Ⅰ）因为,所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.所以.所以数列的通项公式为.（Ⅱ）,所以.………………………13分选③（Ⅰ）因为,所以.两式相减得,即.又因为所以数列是常数列.所以数列的通项公式为.（Ⅱ）,所以.………………………13分17. （本小题14分） 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中的频率为：， 所以从使用该软件的用户中随机抽取1人，其满意度的等级为“满意”的概率约为. （Ⅱ）用频率估计概率，则“满意”的概率为， “不满意”的概率为. 的所有可能取值为0,1,2.       ；  ；             所以的分布列为012数学期望    …………………………………………14分（18）（本小题14分）（Ⅰ）证明：因为，所以，.因为，平面，所以平面．…………………4分（Ⅱ）证明：因为，，所以.因为，所以四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以．…………………8分 （Ⅲ）解：因为，，，所以如图建立空间直角坐标系，由,可知，，，，，，，,设，则，设是平面的法向量，则，即所以.因为是平面的法向量，所以.因为，解得.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，．…………………14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数的定义域为.若，则，，令，得，随的变化，，的变化情况如下表所示-+单调递减极小值单调递增所以时，的最小值为．…………………6分（Ⅱ）因为，当时，，令，得，所以，在区间上单调递增，令，得，所以，在区间上单调递减．当时，令，得或，随的变化，，的变化情况如下表所示+-+单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．当时，因为，当且仅当时，，所以在区间上单调递增．当时，令，得或，随的变化，，的变化情况如下表所示+-+单调递增单调递减单调递增所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………………………15分 20. （本小题15分）解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，其方程为.由得或所以.（Ⅱ）假设存在，使为定值.①          当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：，由得.则.所以若为常数，只需，解得，此时.所以存在点，使为定值.②当直线l与轴垂直时，不妨设当点坐标为时，.综上，存在点，使为定值.……………………………15分 21. （本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以数集不具有性质P；…………………………3分（Ⅱ）（i）因为，所以.所以，则.因为，所以.所以.所以.因为，所以.①所以，.因为，所以.所以.因为，所以.否则，得矛盾.，得矛盾.所以.②①−②得，即.所以.所以是等差数列.…………………………………12分（ii）的最大值是4.…………………………………14分