高三第一次模拟考试数学试题

这是一份高三第一次模拟考试数学试题，共15页。试卷主要包含了考试结束时，需交答卷纸，抛物线的焦点坐标是 ▲，如下图等内容，欢迎下载使用。
注意事项及说明
1．考试前请将密封线内的项目填写清楚。
2．本试卷满分160分，考试时间120分钟。
3．考试结束时，需交答卷纸。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1．设集合,，,则 ▲
2．已知是实数，是纯虚数，则等于 ▲
3．平面向量＝（1,1），＝（－1，m），若∥，则m等于 ▲
4．抛物线的焦点坐标是 ▲
5．已知函数的最小正周期是，则 ▲ ．
6．如下图：某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布
直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，
[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ▲
7．阅读上边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是 ▲
8．已知直线和圆，若直线被圆截的弦长为时，
则 ▲
9．已知是不同的平面，是直线，且，则下列三个命题①
②；③．其中正确的是 ▲
10．在△中，所对边分别为.若，则 ▲
11．若函数的值域为，则＝ ▲
12．若，则的最小值为 ▲
13. 若数列{}是正项数列,且…N则… ▲
14．在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且.若，则的最小值是 ▲
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.
(1) 求角A； (2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。
（1）求证：AD⊥平面PBQ；
（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。
17．（本小题满分15分）设等差数列{}的前n项和为.
(1)若首项公差d=1,求满足的正整数k;
(2)求所有的无穷等差数列{},使得对于一切正整数k都有成立.
18．（本小题满分15分）A
C
B
D
E
F
G
H
A1
B1
C1
D1
E1
F1
G1
H1
如图，一制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．
（1）试用表示的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2
（1）求椭圆E的方程；
（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.
班级 学号 姓名
高三数学期初调研试卷
第Ⅱ卷（理科附加）
(满分40分，考试时间30分钟)
1.已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．
2.在平面直角坐标系中，过椭圆在第一象限内的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．
3.如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．
（第3题图）
( = 1 \* ROMAN I )求的长；
( = 2 \* ROMAN II)求钝角二面角的大小．
4.某品牌设计了编号依次为的种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．
( = 1 \* ROMAN I )若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在
到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；
( = 2 \* ROMAN II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．
高三数学调研试卷第Ⅰ卷评分标准及参考答案
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）
1． {0，2} ；2． ；3．－1；4．（0，1）；5． 1；6．50；7． ；
8． ；9．②③；10． ；11．－1；12． 4；13． ；14． 2；
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.
(1) 求角A； (2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.
解： (1) ∵在△ABC中，满足
由正弦定理可得， ┅3分
故； ┅5分
∵在△ABC中 ∴ ┅7分
(2) 由题意可得， ┅9分
┅10分
∴ ┅13分
从而可得 ┅14分
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q为AD的中点。
（1）求证：AD⊥平面PBQ；
（2）已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ。
证明：⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQAD，
底面ABCD中，AD//BC，BC= eq \f(1,2)AD,∴DQ//BC,DQ=BC
∴BCDQ为平行四边形，
由ADC=900，∴AQB=900，∴ADBQ
由ADPQ,ADBQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ面PBQ
∴AD平面PBQ ……………………7分
⑵连接CQ,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ为平行四边形，
∴N为AC中点，
由PAC中，M、N为PC、AC中点， ∴MN//PA
由MN面BMQ，PA面BMQ ∴面BMQ‖PA ……………………14分
17．（本小题满分15分）设等差数列{}的前n项和为.
(1)若首项公差d=1,求满足的正整数k;
(2)求所有的无穷等差数列{},使得对于一切正整数k都有成立.
【解】 (1)当时.
由得
即.
又∴k=4. ……………………6分
(2)设数列{}的公差为d,则在中分别取k=1,2,得
即
由①,得或.
ⅰ)当时,代入②,得d=0或d=6.
若则从而Sk成立;
若则由知
故不符合题意.
ⅱ)当时,代入②,得d=0或d=2.
若则从而Sk成立;
若则…+从而成立.
综上,共有3个满足条件的无穷数列或或. ………………14分
18．（本小题满分15分）A
C
B
D
E
F
G
H
A1
B1
C1
D1
E1
F1
G1
H1
如图，一制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．
（1）试用表示的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．
解：（1）设为,∴， …………2分
， …………4分,， …………8分
（2）令， …………10分
只需考虑取到最大值的情况，即为， ………13分
当, 即时, 达到最大 ………14分
此时八角形所覆盖面积的最大值为 ． ………15分
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点(0, )到直线l的距离为2
（1）求椭圆E的方程；
（2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且｜AC｜＝｜CB｜．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分16分）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由.
解：（ = 1 \* ROMAN I）当时，
当，当 ，
所以函数在和单调递增，在单调递减，
所以当时，函数取到极大值为，
当时，函数取到极小值为-2. …………（6分）
（ = 2 \* ROMAN II）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，
得
设
且
…………（10分）
当时，在上单调递减，
所以当时，；
当时，在上单调递减，
所以当时，；
所以在不存在 “转点”. …………（13分）
当时，，即在上是增函数.
当时，当时，即点为“转点”.
故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（16分）
省扬高中高三数学期初调研试卷
第Ⅱ卷（理科附加） 命题：杨恒清 审核：何广金
(满分40分，考试时间30分钟)
1.已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．
解：设，则由得，(5分)
解得所以.(10分)
2.在平面直角坐标系中，过椭圆在第一象限内的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．
解：设（为参数），(4分)
则矩形周长为 (8分)
所以，当时，矩形周长取最大值8，
此时，点.(10分)
3.如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．
( = 1 \* ROMAN I )求的长；
（第3题图）
( = 2 \* ROMAN II)求钝角二面角的大小．
解：（1）如图，以点为原点，分别为轴
建立空间直角坐标系，
则，，，
设，其中，
因为，所以，
即，得，
此时，即有；
（2）
4.某品牌设计了编号依次为的种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．
( = 1 \* ROMAN I )若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在
到号中选择．记Pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的Pst的和；
( = 2 \* ROMAN II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．
解：（1）甲从1到为给定的正整数，且号中任选两款，乙从到号中
任选两款的所有等可能基本事件的种数为，
记“款式和同时被选中”为事件B，则事件B包含的基本事件
的种数为，所以，
则所有的的和为：；(4分)
（2）甲从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：，
同理得，乙从种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为，
据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：，
记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A，则事件A的对立事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：
，
所以.(10分)