2021届高考数学金榜押题卷（一）（新高考版）

2021届高考数学金榜押题卷（一）（新高考版）

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则(   )

A. B. C. D.

2.已知复数，则z的实部为(   )

A.3 B.3i C.4 D.4i

3.党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP)y(单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为

()，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为(   )

A.14.04 B.202.16 C.13.58 D.14.50

4.雷锋精神是我国宝贵的精神财富.2020年3月份，某班从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加校团委组织“扶贫帮困”志愿活动，则甲被选中的概率为(   )
A. B. C. D.

5.函数的图象大致是(   )

A. B. 

C. D.

6.在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点，PQ为的外角平分线，于T，则(   )

A.2 B.4 C.3 D.9

7.在三棱锥中，平面是BC的中点.若，则直线PD与平面ABC所成角的正弦值为(   )

A. B. C. D.

8.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，（e是自然对数的底数），则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是(   )

A.焦点为 B.渐近线方程为

C.离心率e为 D.焦点到渐近线的距离为

10.已知，则(   )

A. B. C. D.

11.已知，则下列不等式恒成立的是(   )

A. B. C. D.

12.若定义域为的函数的导函数满足，且，则下列结论中成立的是(   )

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量.若，则_____________.

14.已知直线和圆相切，则实数___________.

15.如图，将某圆形工件（厚度忽略不计）放置在水平面MN上，与MN交于点A，在圆周上取一点B，作的平分线AC，交圆周于点C，连接BC并延长交MN于点D.若，则该圆形工件的半径为___________.

16.已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为，则正四棱锥的外接球与内切球的半径之比为______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，设角的对边分别为，且，_________，？

18.（12分）已知数列的前n项和为，且，数列中，，.

（1）设，求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式.

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，是等边三角形，为AD的中点.

（1）求证：平面平面ABCD；

（2）若点M为棱PC上一点（异于点P、C），则当PM为何值时，二面角为60°？

20.（12分）2020年12月16日至18日，中央经济工作会议在北京召开.会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控.为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了500名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：

（1）判断是否有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关？

（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3人参与座谈，若这3人中年龄在40岁以下的有人，求的分布列与数学期望.

附：.

临界值表：

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知，动点P满足.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点作直线l交C于A，B两点，若的面积是的面积的2倍，求.

22.（12分）已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若恒成立，求a的取值范围.

答案以及解析

一、单项选择题

1.答案：A

解析：，.故选A.

2.答案：A

解析：的实部为3，故选A.

3.答案：A

解析：到2035年底对应的年份代号为23，由回归方程得，我国国内生产总值约为(万亿元)，又，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元.故选A.

4.答案：B

解析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，共有种情况，甲被选中共有种情况，所以甲被选中的概率，故选B.

5.答案：C

解析：易知函数的定义域为R，且，故为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、B，令，则，令，则在R上恒成立，所以在R上单调递增，又，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，易知，所以，排除D，故选C.

6.答案：C

解析：延长交的延长线于点M，因为PQ为的外角平分线，所以易得所以，，结合椭圆的定义得，又T为的中点，O为的中点，所以在中，.

7.答案：C

解析：如图，连接AD.因为在三棱锥中，平面PAB，所以，又，所以平面ABC，所以即为直线PD与平面ABC所成角.设，则由，得.又D是BC的中点，所以，所以在中，.又易知，则在中，，所以，故选C.

8.答案：B

解析：当时，，此时，则在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减.由，得，则；两边平方整理得，解得，故选B.

二、多项选择题

9.答案：BC

解析：由方程可知，
则焦点为，渐近线方程为，即，
离心率为，焦点到渐近线的距离为，故选BC.

10.答案：ABC

解析：由，
则，
由二项式定理得：展开式的通项为，
令，得，则，故B正确；
令，得，则，
令，得，则，所以，故C正确；
令，得，得，故A正确；
令，得，
故D错误.故选ABC.

11.答案：AD

解析：对于A，由得，即（当且仅当时，等号成立），又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以（当且仅当时，等号成立），故A正确；对于B，由得，解得，即（当且仅当时，等号成立），故B错误；对于C，由得，解得（当且仅当时，等号成立），故C错误；对于D，因为且，所以，又由B选项知，所以（当且仅当时，等号成立），故D正确.故选AD.

12.答案：ABC

解析：据题意，若定义在的函数的导数满足，则有，则有，设，则，则在上为增函数，依次分析选项：对于A，，则，即，则有，符合题意；对于B，，则，即，即有，符合题意；对于C，在上为增函数，且，则有，则，又由，则，符合题意；对于D，当，有，此时有，即，变形可得，又由，则，则恒成立，不符合题意；故选ABC.

三、填空题

13.答案：

解析：由已知得，解得.则，故.

14.答案：或0

解析：由直线与圆相切可知，，化简得，解得或0.

15.答案：

解析：由弦AC平分，可得，又因为，所以，则，则，故.因为，所以，因为圆形工件是的外接圆，所以由正弦定理得圆形工件的半径.

16.答案：

解析：如图，连接AC，取AC的中点H，连接PH，则平面ABCD，则正四棱锥的外接球的球心O在PH上，连接OA.取BC的中点E，连接PE，HE.因为，所以.因为侧棱与底边夹角的余弦值为，所以，所以，所以.又，所以.设正四棱锥的外接球的半径为R，内切球的半径为r，在中，，即，解得.因为，正四棱锥的表面积，所以，即，解得，所以.

四、解答题

17.答案：选择①：由余弦定理可知，，
由正弦定理得，，又，所以，所以是直角三角形，则，所以的面积.
选择②：由正弦定理得，，即，又，所以，所以，即，又，所以.由正弦定理得，，所以的面积
选择③：因为，所以，又，所以，所以，，即.
由正弦定理得，，
所以的面积.

18.答案：（1），①

.②

②-①得.

，

，即.

又，则，

，

数列是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）可知，，

.

当时，.

又当时，符合上式，

.

19.答案：（1）证明：是等边三角形，N为AD的中点，
，
连接BD，可得为等边三角形，，
，
又平面平面ABCD，
又平面平面平面ABCD.
（2）由（1）知，两两垂直，以所在
直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，
，
设，
，
设平面MNB的法向量为

令，则，
易知平面PNB的-个法向量为，
，
，
或，
又，
，
.

20.答案：（1）由题意建立2×2列联表如下：

，

所以有99%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关.

（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在40岁以上的有5人，年龄在40岁以下的有3人，则随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.

，

，

所以随机变量的分布列为

.

21.答案：（1）设，因为，

所以.

由，可得，

化简得，

即动点P的轨迹C的方程为.

（2）设，

由题意知，不妨设.

因为，所以，所以.①

根据题意知直线l不与x轴重合，可设直线l的方程为.

联立

消去x，得，则，

可得.②

由①②联立，解得，

所以.

22.答案：（1）证明：由题意知，
当时，在上单调递增，
又，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以.
（2）①当时，由（1）知，在上不恒成立，
②当，且时，
设，
所以，
易知在上单调递减，，
因为，即，所以，
所以当时，，
由解得，
设的唯一根为t，
则，所以，
所以时，单调递增；时，单调递减，
若，则，则在区间上，，所以，所以，
若，则，则在区间上，，所以，所以，
若，则，此时，
设，
所以，
所以当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，又因为，所以.
综上，.