苏科版八年级上册第2章 轴对称图形知识点总结

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2.1轴对称与轴对称图形
（一）轴对称
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫对称点。
注意：（1）轴对称包含两层意思：
有两个图形。轴对称反映的是两个图形之间的特殊关系，这两个图形能够完全重合，即这两个图形的形状和大小完全相同；
“完全重合”是指必须“沿一条直线翻折后能够完全重合”，这就是说，不仅要形状相同，大小相等，还对两个图形的位置有特别的限制。
（2）对称轴是一条直线。
（3）对称点是指翻折后能够重合的点，对称线段是指翻折后能够重合的线段。
（二）轴对称图形的概念
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：
（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
（三）轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别与联系可用下表来说明：
2.2轴对称的性质
（一）线段的垂直平分线
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线。
注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：①经过这条线段的中点；②与这条线段垂直。
（二）轴对称的性质
1.成轴对称的两个图形全等。
2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
拓展延伸：轴对称的性质可以更进一步地理解：
（1）成轴对称的两个图形全等，它们的对应线段相等，对应角相等；
（2）每一对对称点的连线被对称轴垂直平分；
（3）各对称点的连线互相平行或在同一条直线上；
（4）作对称点连线的垂直平分线可以得到对称轴；
（5）由于轴对称图形也可以看成对称轴两侧的部分成轴对称，所以类似地也可得出轴对称图形的性质：轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
（三）画与已知图形成轴对称的图形
画与已知图形成轴对称的图形包括画已知点关于已知直线的对称点，画已知线段关于已知直线的对称线段，画已知三角形关于已知直线的对称三角形。有时也要求画出轴对称图形的某一部分。
知识拓展：根据轴对称的性质，对应点连线被对称轴垂直平分，因此假设作出了对应点，那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分。因此在画轴对称图形时，先确定出图形的关键点，作出每个关键点关于对称轴的对称点，然后按原图形的顺序连接相应的对称点，即画出与原图形成轴对称的图形。
方法归纳：作对称点可分三步：作垂线，延长，截取。
（四）画对称轴
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，因此，我们只要找到一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。此法对于轴对称图形同样适用。
详解：（1）作对称轴的前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形，否则不存在对称轴。当两个图形成轴对称时，任找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线（对称轴）即可，而对于轴对称图形，由于对称轴不一定唯一，因此要注意选取不同的对称点作出其所有的对称轴。
（2）根据轴对称图形的性质可以得出轴对称图形对称轴的画法，步骤如下：
①找出轴对称图形的任意一组对称点；
②连接这组对称点；
③画出对称点所连线段的垂直平分线。
这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴。
提示：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对称点有一个共同的规律-------对称点所连线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据。
2.3设计轴对称图案
（一）设计轴对称图案
设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。
注意：（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；
（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；
（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。
2.4线段、角的轴对称性
（一）线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
2.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
3.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
4.线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
特别提醒：线段有两条对称轴，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴。
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
证明某一条直线是一条线段的垂直平分线有两种方法：
第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分。
第二种：在已知直线上找两点，设法证明这两点到已知线段两端的距离相等，这样就可以证得已知直线是已知线段的垂直平分线。
（二）角的轴对称性
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
4.角平分线是角到角两边距离相等的点的集合。
特别提醒：由于对称轴是一条直线，而角平分线是一条射线，因此角的对称轴不是角平分线，而是角平分线所在的直线。
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等
牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；
（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
2.5等腰三角形的轴对称性
（一）等腰三角形的性质
1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。
拓展延伸：（1）等腰三角形是轴对称图形，这与其顶角的大小无关，或者说，这与等腰三角形是锐角三角形，还是直角三角形或钝角三角形无关，并且对称轴一定是顶角平分线所在的直线，而不是任意角的平分线所在的直线。
（2）“等边对等角”仅限于在同一个三角形中。
（3）“三线合一”是等腰三角形的重要性质，它是说明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据之一。
（二）等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
（三）等边三角形的概念、性质和判定
三边相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）。
等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有更特殊的性质：
（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
详解：等腰三角形和等边三角形的联系和区别：
等边三角形是特殊的等腰三角形。一般等腰三角形只有两腰相等，而等边三角形是三边都相等；一般等腰三角形只有两底角相等，而等边三角形是三个内角都相等且都等于60°；一般等腰三角形的“三线合一”中的“三线”必须是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高，而等边三角形却是每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”；一般等腰三角形只有一条对称轴，而等边三角形有三条对称轴。
（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
轴对称图形
1.轴对称的性质
（1）成轴对称的两个图形全等
（2）成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分
（3）成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称
2.轴对称图形
（1）概念
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形是轴对称图形
（2）线段
①线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
③到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
（3）角
①角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴
②角平分线上的点到角两边的距离相等
③角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
（4）等腰三角形
①两边相等的三角形是等腰三角形
②等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
③等边对等角
④三线合一
⑤等角对等边---
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（5）等边三角形
①三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形
②等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
③等边三角形的各角都等于60°
④三个角相等的三角形是等边三角形
⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
3.应用
设计轴对称图形
解决距离的最短问题
轴对称
轴对称图形
区别
意义不同
两个图形之间的对称关系
具有特殊形状的图形
对象不同
两个图形
一个图形
对称轴的数量不同
只有一条对称轴
不一定只有一条
联系
（1）沿对称轴翻折，两个图形重合；
（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形
（1）沿对称轴折叠，图形的两部分重合；
（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称