专题二 几何学-2021年中考数学暑假知识点复习（基础）

这是一份专题二 几何学-2021年中考数学暑假知识点复习（基础），共23页。试卷主要包含了几何学等内容，欢迎下载使用。

第一部分 相交线与平行线
一、相交线
1、对顶角与邻补角
2、垂线
①定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图所示，符号语言记作： ，垂足为。
②垂线的性质：
垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)。
垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短。
③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。如图，，点到直线的距离是垂线段的长.
二、平行线
★1、性质与判定
①性质：两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
②判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行
2、平行线的构造
三、命题与平移
1、命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
2、常见结论及其否定形式
3、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移。
平移的性质：平移后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连线段平行(或共线)且相等
第二部分 三角形
一、三角形的性质
★1、构成三角形的条件：两边之和大于第三边或两边之和小于第三边
★2、三角形内角和定理：三角形的内角和为
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。
3、分类
①按角分类：
②按边分类：
★4、多边形
①多边形内角和。若正多边形每个内角为，则有
②多边形外角和。若正多边形每个外角为，则有
③多边形对角线条数
★5、三角形中的线段
5、三角形的三心
（1）重心：三角形三条中线的交点叫三角形的重心。
重心性质：重心和三角形顶点组成的个三角形面积相等
重心到顶点的距离与重心到底边中点距离之比为
三角形顶点坐标则重心坐标为

（2）内心：三角形三内角角平分线交点叫三角形内心，是三角形内切圆圆心。
内心性质：内心到三角形三边的距离相等
三角形面积与内切圆半径关系：
（3）外心：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外心，是三角形外接圆圆心。
外心性质：外心到三角形三顶点的距离相等；三角形面积与外接圆半径关系：
二、特殊三角形
三、全等三角形
四、相似三角形
★
1、定义：三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形，相似比记为
∽，则
★2、性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；
③相似三角形面积比等于相似比的平方。

★3、判定： ①两个角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.
③三边对应成比例，两个三角形相似。
★4、常见的相似模型
第二部分 四边形
一、平行四边形
1、平行四边形性质与判定
2、思路总结
3、平行四边形面积模型
二、中点四边形
第三部分 圆
一、圆的有关概念
二、圆周角、圆心角定理
三、直线与圆位置关系
1、直线和圆的关系
★2、切线判定定理
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直。
★3、切线长定理：
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点间线段的长，叫点到圆的切线长．
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线
平分两条切线的夹角．
如图所示，、分别与⊙切于点、，则，平分．
4、三角形的外接圆
①确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
②外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的
圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫
做这个圆的内接三角形．
5、三角形的内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
内心，内心是三条内角平分线的交点．
四、圆幂定理
五、扇形与圆锥
第四部分 旋转与视图
一、旋转与对称
二、投影与视图
1、投影与视图
★2、投影与视图的考点
第五部分 几何解题方法与思路
一、尺规作图
二、几何辅助线
三、折叠、动点问题
四、几何中的最值
★1、几何最值的来源：
★2、几何最值常考类型
五、圆的考点梳理
六、其它几何考点
1、全等手拉手模型（共顶点模型）
2、对角互补模型
3、半角旋转模型
有公共顶点
的两边与
的两边互为反向延长线
对顶角相等
即
有公共顶点
与有一条边公共，另一边互为反向延长线.
邻补角互补即
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于（小于等于）
至少有个
至多有（）个
小于
不小于（大于等于）
至多有个
至少有（）个
对所有，成立
存在某，不成立
或
且
对任何，不成立
存在某，成立
且
或
从三角形的一顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
在底边上的高为。
三角形的一顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
在底边上的中线为。
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
在顶角
上的角平
分线为。
三角形两边中点的连线叫中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
等腰三角形
定义
有两条边相等的三角形，叫等腰三角形。相等的两边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫做底角
性质
①等腰三角形是轴对称图形
②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
③等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合(三线合一)
判定
①两边相等、两底角相等为等腰三角形。
②两线合一两三角形全等为等腰三角形。
等边三角形
定义
三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
判定
①三边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有两个角是60°的三角形是等边三角形。
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
定义
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
性质
①直角三角形的两锐角互余。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即。
判定
①含有°角（两锐角互余）的三角形是直角三角形。
②勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边存在关系“”，那么这个三角形是直角三角形。
③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
实记勾股数
两三角形全等对应角相等、对应边相等。
①边边边：三边分别相等的两个三角形全等
②边角边：两边分别相等且夹角也相等的两个三角形全等
③角边角:两角对应相等且夹边也相等的两个三角形全等
④角角边:两角对应相等且有一边也相等的两个三角形全等
⑤:直角三角形中对应直角边和斜边分别相等的两个三角形全等
在与中 ∵ ∴≌



定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质
①对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、邻角互补
②
判定
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
定义
有一个角为的平行四边形叫做矩形
性质
①对角线相等、 = 3 \* Arabic \* MERGEFORMAT 3个内角为直角
②
判定
①有一（三）个角是直角的平行四边形（四边形）是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形。
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
①四边相等、对角线平分对角
②对角线互相垂直且平分
③菱形面积 = 对角线乘积的一半
判定
①有一组邻边（四边）相等的平行四边形（四边形）是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③对角线平分对角的平行四边形是菱形。
定义
= 4 \* Arabic \* MERGEFORMAT 4条边相等 = 4 \* Arabic \* MERGEFORMAT 4个角为直角的四边形叫做矩形
性质
①四边相等，四个角都为
②对角线互相垂直、相等且互相平分。
③边长×边长＝×对角线×对角线
判定
①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
②邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形
③有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形
平行四边形边上一点与两对边形成的两个三角形面积和等于平行四边形面积一半。
①
②
平行四边形内一点与两对边形成的两个三角形面积和等于平行四边形面积一半。
①
②
平行四边形外一点与两对边形成的两个三角形面积和（差）为平行四边形面积一半。
①
②
定义：任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形就叫做原四边形的中点四边形．如下图点分别是四边形的边、、、的中点；
对于任意四边形，四边形是平行四边形．
若对角线，则四边形是矩形．
若对角线，则四边形是菱形．
对角线且，则四边形是正方形．
在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心。圆用⊙表示，半径为
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半。
如图：
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）。
如图：
推论2：圆内接四边形的对角互补。
如图：，．

直线与⊙相交
直线与圆有两个交点，直线叫做圆的割线。
直线与⊙相切
直线与圆有唯一交点，直线叫做圆的切线，交点叫做圆的切点。
直线与⊙相离
直线与圆没有交点。
弦切角：切线与弦的夹角。
弦切角定理：弦切角等于它所夹弧的圆周角。
如图：．
相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长乘积相等。如图：．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图：．
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图：．
弧长公式：
面积公式：
圆锥展开：侧面展开图是扇形，底面是圆。
为扇形半径，也叫圆锥母线长。
圆锥个考点：
①侧面展开图中：扇形弧长=底面圆周长。即：
②在圆锥内由勾股定理有：

把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，就叫做图形的旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
（1）旋转后的图形与原图形是全等的
（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角
（1）首先确定旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
（2）其次在原图中找几个关键点；
（3）再连接关键点与旋转中心，让关键点与旋转中心所连线段沿旋转方向转动一定的角度，得到线段的端点就是关键点的对应点；
（4）最后依次连接各对应点，就得到旋转后的图形。
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
轴对称性质： = 1 \* GB3 ①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
= 2 \* GB3 ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线。

（1）作出已知图各顶点关于对称轴（对称中心）的对称点——连接关键点和对称轴（对称中心），并延长一倍确定对称点.
（2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称轴（对称中心）对称的图形.
平行投影
用平行光线（太阳光）照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的投影叫做平行投影。
在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.
中心投影
用点光线（灯光）照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的投影叫做中心投影。
中心投影中存在三角形相似
三视图
一物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的的视图叫主视图；在水平面得到的叫俯视图；在侧面内得到的视图叫左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
长对正
高平齐
宽相等
如图，小美利用所学的数学知识测量旗杆的高度．
（1）画出此时旗杆在阳光下的投影；
（2）已知小美的身高为，在同一时刻测得小美和旗杆AB的投影长分别为和，求旗杆的高．
解答：（1）如下图，假设小美为，她的影子为，
连接，过点作交地面于点，
连接，即为此时旗杆在阳光下的投影．
（2）由（1）可知，，都垂直于地面，且，
，，，．由题可知，，，，解得，旗杆的高为．
如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
根据主视图、左视图、俯视图可知，该几何体为正方体缺少右前上的
一块，故选．
作一个角与相等

作的角平分线
作直线的垂线，使它经过点
①点在线段上
②点在线段外

作圆，使它经过不同一直线上的三点（即作以点为顶点的三角形的外接圆）
作以点为顶点的三角形的内切圆
截长
（在上截取一点，使得,可证得）
补短
（延长到点，使得,连接,可证得）
斜边中线(斜边中线等于斜边一半，即)
三角形中位线（三角形中位线第三边，且等于第三边一半，即且）
等腰三角形“三线合一”（①由两线合一可以得出;
②三线中知其一可得其二）
倍长中线（延长三角形的中线到，使,可证得,）
类倍长中线（在几何图形中，为中点，延长到,使得,可证得）

连半径（在圆中，证切线问题以及涉圆周角圆心角定理的内容都需连接半径）

直径（题目提到直径必用“直径所对圆周角为直角”题图若无圆周角则需自己做辅助线构建圆周角）
构建相似三角形
（中构建射影相似，其它三角形一般构建字形相似）


折叠前后2个几何图形全等
运动点路径长
全等三角形、勾股定理、特殊三角形、相似三角形
一般三角形性质、相似三角形、坐标体系下的几何知识、平行四边形性质
偏几何方向，以几何关系为主，往往运用勾股定理较多，还会涉及全等三角形与特殊三角形、相似三角形性质
偏函数方程方向，由时间为参数构建各类与时间有关系的方程式、函数式，用函数与方程观点解决问题
两点之间，线段最短；点到直线的距离，垂线段最短。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边。
⊙上一动点与平面一定点之间，由三角形构成条件
可得：，
即；当且仅当三点共线时取等号。
的最小值为
的最大值为
周长的最小值为
的最小值为
切线判定
①两锐角互余或勾股定理
②证三角形全等
③公共角模型
④平行线判定
圆周角
圆心角
记住一条准则：看到弧首先找出它所对的所有圆
心角和圆周角，且用来表示。
勾股定理
相 似
射影相似
字形相似

比值类问题需要将分子和分母分别设出来，作为已知量求解。
①题目直接给到比值：例如：，设，则
②三角函数问题：先在直角三角形中写出三角函数定义式，在套用①
，，
①,
②
③平分
与是等腰直角三角形
①,
②,
③平分
④
⑤
⑥分别是，上的点，若是的中点，则（反之亦然）；②若，是的中点（反之亦然）
⑦
与是等边三角形，三点共线
①,
②
③平分
④,
⑤为等边三角形
，
①∽
②
，平分
，平分
，
①
②
①
②
①
②
①
②
① ②过点作，则
③连接，则