2021年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学一模试卷

这是一份2021年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021B．C．﹣2021D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝6aB．a2+a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．（a3）4＝a7
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
6．（3分）矩形ABCD的边BC在直线l上，AB＝2，BC＝4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连接CP，过点P作∠APE＝∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）张老师到文具店购买A、B两种文具，A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱，则可供他选择的购买方案的个数为（两样都买）（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
9．（3分）如果关于x的分式方程＝1无解，那么m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①b＞0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＜0；
④a+b+c＞0；
⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（每题3分，满分21分）
11．（3分）吴京导演的《战狼2》创下了56.8亿票房神话，将数据56.8亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为： （只添加一个条件即可）．
14．（3分）如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为 cm2．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为线段AD垂直平分线上一点，且PD＝5，则BP的长是 ．
16．（3分）直角三角形的两条边的长分别是3cm和4cm，以直角边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，所得几何体的底面积是 cm2．
17．（3分）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，都是边长为4的等边三角形，点A在x轴上，点B1，B2，B3，都在正比例函数y＝kx的图象l上，则点B2021的坐标是 ．
三、解答题：（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（2）分解因式：4（x﹣2y）2﹣16y2．
19．（5分）解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x．
20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．
21．（10分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
22．（10分）甲、乙两人相约周末从山脚下开始登山，甲先出发，甲、乙两人距山脚的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在A地时距山脚的高度b为 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距山脚的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）请直接写出在两人登山过程中，乙登山多长时间时，甲、乙两人距山脚的高度差为70米？
23．（12分）综合与实践﹣﹣﹣折叠中的数学
在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．
问题背景：
在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．
猜想与证明：
（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；
操作与画图：
（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；
操作与探究：
（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN并延长MN交EF于点O．
求证：MO⊥EF且MO平分EF；
（4）若AB＝4，AD＝4，在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径的长为 ．
24．（14分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当|AH﹣CH|值最大时，点H坐标为 ．
（3）若抛物线上存在一点P（m，n），mn＞0，当S△ABC＝S△ABP时，求点P坐标；
（4）若点M是该抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标．
2021年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）|﹣2021|的倒数的相反数（ ）
A．2021B．C．﹣2021D．﹣
【分析】直接利用倒数和相反数的定义、绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，则2021的倒数为，
的相反数是：﹣．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a＝6aB．a2+a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．（a3）4＝a7
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；
B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；
故选：C．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
4．（3分）如图是由七个相同的小正方体堆成的物体，这个物体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看，下面一行第1列只有1个正方形，上面一行横排3个正方形．
故选：C．
5．（3分）为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．
【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故选：A．
6．（3分）矩形ABCD的边BC在直线l上，AB＝2，BC＝4，P是AD边上一动点且不与点D重合，连接CP，过点P作∠APE＝∠CPD，交直线l于点E，若PD的长为x，△PEC与矩形ABCD重合部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分段函数，当x≤2和2＜x≤4时，分别列出函数表达式，即可了解y与x的函数关系的图象．
【解答】解：当x≤2时，y＝2x，是一次函数；
当2＜x≤4时，y＝2x﹣＝﹣2x+16﹣，是一次函数与反比例函数的叠加函数．
只有A符合条件．
故选：A．
7．（3分）张老师到文具店购买A、B两种文具，A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱，则可供他选择的购买方案的个数为（两样都买）（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】设买A种文具为x件，B种文具为y件，根据“A种文具每件2.5元，B种文具每件1元，共花了30元钱”列出方程并解答．注意x、y的取值范围．
【解答】解：设买A种文具为x件，B种文具为y件，
依题意得：2.5x+y＝30，
则y＝30﹣2.5x．
∵x、y为正整数，
∴当x＝2时，y＝25；
当x＝4时，y＝20；
当x＝6时，y＝15；
当x＝8时，y＝10；
当x＝10时，y＝5；
当x＝12时，y＝0（舍去）；
综上所述，共有5种购买方案．
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【分析】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得AE，BE的长，根据菱形的面积为2，求得AE的长，在Rt△AEB中，即可得出k的值．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为4，2，
∴A（，4），B（，2），
∴AE＝2，BE＝k﹣k＝k，
∵菱形ABCD的面积为2，
∴BC×AE＝2，即BC＝，
∴AB＝BC＝，
在Rt△AEB中，BE＝＝1
∴k＝1，
∴k＝4．
故选：C．
9．（3分）如果关于x的分式方程＝1无解，那么m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：去分母得：m+2x＝x﹣2，
解得：x＝﹣m﹣2，
由分式方程无解，得到﹣m﹣2＝2，
解得：m＝﹣4，
故选：B．
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①b＞0；
②2a+b＝0；
③4a﹣2b+c＜0；
④a+b+c＞0；
⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当x＝﹣2时，y＞0，于是可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，于是可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，
∵x＝4时，y＜0，
∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
二、填空题：（每题3分，满分21分）
11．（3分）吴京导演的《战狼2》创下了56.8亿票房神话，将数据56.8亿用科学记数法表示为 5.68×109 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：56.8亿＝5680000000＝5.68×109．
故答案为：5.68×109．
12．（3分）在函数y＝+（x﹣4）0中，自变量x的取值范围是 x＞3且x≠4 ．
【分析】根据分母不为零、二次根式被开方数为非负数、非零数零指数幂有意义的条件求解可得．
【解答】解：要使函数y＝+（x﹣4）0有意义，
则x﹣3＞0且x﹣4≠0，
解得x＞3且x≠4，
故答案为：x＞3且x≠4．
13．（3分）如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF，需要添加一个条件为： BC＝EF （只添加一个条件即可）．
【分析】本题是开放题，应先确定题中给出的条件，再对应三角形全等条件求解．
【解答】解：所添条件为：BC＝EF．
∵BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
14．（3分）如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为 18π cm2．
【分析】连接OC，OD，判断出阴影部分的面积＝扇形OCD的面积，根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连接OC，OD，
∵∠CAD＝40°，
∴∠COD＝80°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积＝△COD的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝＝18π．
故答案为：18π．
15．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为线段AD垂直平分线上一点，且PD＝5，则BP的长是 或 ．
【分析】如图，根据点P在线段AD垂直平分线MN上，求得MN⊥AD，DM＝AD＝4，MN＝AB＝4，①点P在矩形外，②点P在矩形内，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，∵点P在线段AD垂直平分线MN上，
∴MN⊥AD，DM＝AD＝4，MN＝AB＝4，
①点P在矩形外，则P1M＝＝3，
∴P1N＝7，
∴P1B＝＝，
②点P在矩形内，同理P2M＝3，
∴P2N＝1，
∴P2B＝＝，
故答案为：或．
16．（3分）直角三角形的两条边的长分别是3cm和4cm，以直角边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，所得几何体的底面积是 7π或9π或16π cm2．
【分析】旋转后得到的几何体为圆锥，圆锥的底面为圆，半径为3或4或，根据圆的面积计算即可．
【解答】解：∵直角三角形的两条边的长分别是3cm和4cm，
∴两直角边的长为3或4或（cm），
∴以其中一条直角边所在直线为轴旋转一周所得几何体为圆锥，底面是圆，底面的半径为3或4或，所以，底面面积为7πcm2或9πcm2或16πcm2．
故答案为：7π或9π或16π，
17．（3分）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，都是边长为4的等边三角形，点A在x轴上，点B1，B2，B3，都在正比例函数y＝kx的图象l上，则点B2021的坐标是 （﹣4042，4042） ．
【分析】根据等边三角形的性质可得出OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝4、且直线l的解析式为y＝﹣x，进而可得出点B1、B2、B3、…的坐标，根据坐标的变化即可得出变化规律“Bn（﹣2n，2n）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：∵△OAB，△B1A1B1，△B2A2B2，都是边长为4的等边三角形，
∴OB1＝B1B2＝B2B3＝…＝4，且直线l的解析式为y＝﹣x，
∴B1（﹣2，2），B2（﹣4，4），B3（﹣6，6），…，
∴Bn（﹣2n，2n），
∴B2021（﹣4042，4042）．
故答案为：（﹣4042，4042）．
三、解答题：（本题共7道大题，共69分）
18．（10分）（1）计算：12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（2）分解因式：4（x﹣2y）2﹣16y2．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及乘方的意义计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2+1﹣（﹣5）
＝1﹣2+1+5
＝5；
（2）原式＝[2（x﹣2y）+4y][2（x﹣2y）﹣4y]
＝4x（x﹣4y）．
19．（5分）解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】把右边的项原点左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．
【解答】解：方程化为：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x+2）＝0
x﹣1＝0或3x+2＝0
∴x1＝1，x2＝﹣．
20．（8分）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，推出OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BF＝＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABG＝∠A+∠C，
∴∠ABG＝2∠C；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝6，
∴BF＝＝3，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝6，
∴⊙O的半径为6．
21．（10分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 450 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
【分析】（1）根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：40÷40%＝100（人），
手机的人数是：100﹣40﹣20﹣10＝30（人），补全统计图如下：
（2）全校用手机上网课的学生共有：1500×＝450（名）；
故答案为：450；
（3）根据题意画树状图如下：
共有16种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有4种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率是＝．
22．（10分）甲、乙两人相约周末从山脚下开始登山，甲先出发，甲、乙两人距山脚的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在A地时距山脚的高度b为 30 米；
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距山脚的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式；
（3）请直接写出在两人登山过程中，乙登山多长时间时，甲、乙两人距山脚的高度差为70米？
【分析】（1）根据速度＝高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度＝速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；
（2）分0≤x＜2和x≥2两种情况，根据高度＝初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；
（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者作差等于70得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度﹣甲登山全程中y关于x的函数关系式＝70，得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．
【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300﹣100）÷20＝10（米/分钟），
b＝15÷1×2＝30．
故答案为：10；30；
（2）当0≤x＜2时，y＝15x；
当x≥2时，y＝30+10×3（x﹣2）＝30x﹣30．
当y＝30x﹣30＝300时，x＝11．
∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝；
（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y＝10x+100（0≤x≤20）．
当10x+100﹣（30x﹣30）＝70时，解得：x＝3；
当30x﹣30﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝10；
当300﹣（10x+100）＝70时，解得：x＝13．
答：登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米．
23．（12分）综合与实践﹣﹣﹣折叠中的数学
在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．
问题背景：
在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．
猜想与证明：
（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；
操作与画图：
（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；
操作与探究：
（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN并延长MN交EF于点O．
求证：MO⊥EF且MO平分EF；
（4）若AB＝4，AD＝4，在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径的长为 ．
【分析】（1）由AD∥BC，可得∠MFE＝∠CEF，由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，依据∠MFE＝∠MEF，即可得到ME＝MF，进而得出△MEF是等腰三角形；
（2）作AC的垂直平分线，即可得到折痕EF，依据轴对称的性质，即可得到D'的位置；
（3）依据△BEQ≌△D'FP，可得PF＝QE，依据△NC'P≌△NAP，可得AN＝C'N，依据Rt△MC'N≌Rt△MAN，可得∠AMN＝∠C'MN，进而得到△MEF是等腰三角形，依据三线合一，即可得到MO⊥EF 且MO平分EF；
（4）依据点D'所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240°的扇形的弧，即可得到点D'所经过的路径的长．
【解答】解：（1）△MEF是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MFE＝∠CEF，
由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
∴△MEF是等腰三角形．
（2）折痕EF和折叠后的图形如图2所示：
（3）如图3，∵FD＝BE，
由折叠可得，D'F＝DF，
∴BE＝D'F，
在△NC'Q和△NAP中，∠C'NQ＝∠ANP，∠NC'Q＝∠NAP＝90°，
∴∠C'QN＝∠APN，
∵∠C'QN＝∠BQE，∠APN＝∠D'PF，
∴∠BQE＝∠D'PF，
在△BEQ和△D'FP中，
，
∴△BEQ≌△D'FP（AAS），
∴PF＝QE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴AD﹣FD＝BC﹣BE，
∴AF＝CE，
由折叠可得，C'E＝EC，
∴AF＝C'E，
∴AP＝C'Q，
在△NC'Q和△NAP中，
，
∴△NC'P≌△NAP（AAS），
∴AN＝C'N，
在Rt△MC'N和Rt△MAN中，
，
∴Rt△MC'N≌Rt△MAN（HL），
∴∠AMN＝∠C'MN，
由折叠可得，∠C'EF＝∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC，
∴∠C'EF＝∠AFE，
∴ME＝MF，
∴△MEF是等腰三角形，
∴MO⊥EF 且MO平分EF；
（4）在点E由点B运动到点C的过程中，点D'所经过的路径是以O为圆心，4为半径，圆心角为240°的扇形的弧，如图：
故其长为L＝＝．
故答案为：．
24．（14分）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣3，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当|AH﹣CH|值最大时，点H坐标为 （，） ．
（3）若抛物线上存在一点P（m，n），mn＞0，当S△ABC＝S△ABP时，求点P坐标；
（4）若点M是该抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，以A、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标．
【分析】（1）把A（﹣3，0）、B（4，0）代入函数解析式，求出待定系数的值；
（2）利用“三角形任意两边的差小于第三边”找到点H的位置，再直线AC的解析式求出点H的坐标；
（3）先确定点P所在的象限，再由△ABC的面积确定△ABP的面积，及点P的纵坐标，求出点P的横坐标；
（4）A、C两点是确定的，所以应按AC为一边或AC为对角线进行分类，再画出图形，由图形的平移、旋转等变换，求出点N的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图1，由y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣）2﹣得C（0，﹣4），该抛物线的对称轴为直线x＝．
如图1，延长AC交直线x＝于点H，此时|AH﹣CH|＝AC；
∵|AH﹣CH|≤AC，
∴当|AH﹣CH|＝AC时，|AH﹣CH|的值最大；
设直线AC的解析式为y＝kx﹣4，则﹣3k﹣4＝0，解得k＝，
∴y＝x﹣4，
当x＝时，y＝×﹣4＝，
∴H（，）．
故答案为：（，）．
（3）如图2，若抛物线上存在点P（m，n），且mn＞0，则m、n符号相同，由图象可知，点P在第一象限．
∵△ABP与△ABC在AB边上的高相等，且OC＝4，
∴点P的纵坐标为4，
由x2﹣x﹣4＝4，整理得x2﹣x﹣24＝0，解得x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
∴P（，4）
（4）如图3和图4，AC为矩形AMCN的对角线，
设直线x＝交x轴于点G，过点C作直线x＝的垂线，垂足为点H，则G（，0），H（，4），
设M（，r），
∵∠AGM＝∠AMC＝∠MHC＝90°，
∴∠AMG＝90°﹣∠CMH＝∠MCH，
∴△AMH∽△MCH，
∴，
∴，
解得r＝或r＝，
∴M（，）或M（，）；
设AC的中点为Q，则Q（，﹣2），
∵点N与点M关于点Q对称，
∴N（，）或N（，）；
如图5，AC为矩形AMNC的一边，作NH⊥y轴于点H，则△NCH≌△AMG，
∴NH＝AG＝﹣（﹣3）＝，
∵△NCH∽△CAO，
∴CH＝NH＝×＝，
∴点H的纵坐标为﹣4+＝，
∴N（，）；
如图6，AC为矩形ACMN的边，作MJ⊥y轴于点J，NI⊥x轴于点I，
则△MJC≌△AIN，
∴AI＝MJ＝，
∴点N的横坐标为﹣3+＝，
∵△ANI∽△CAO，
∴NI＝AI＝×＝，
∴N（，）．
综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
中位数
众数
平均数
方差
9.2
9.3
9.1
0.3
中位数
众数
平均数
方差
9.2
9.3
9.1
0.3