2021年中考数学：专题16 相交线与平行线（知识点串讲）

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知识点一 相交线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
表示方法：
如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．
记作：a ⊥ b于点Ｏ．
【注意事项】
1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。
2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的画法：一落、二移、三画。
注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。
垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
注意：
垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
邻补角与对顶角的知识点
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
同位角、内错角与同旁内角的知识点
同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）
如：∠1和∠5。
内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）
如：∠3和∠5。
同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
知识点三 平行线
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。
平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
平行线的判定
判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
知识点四 图形平移
平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
平移的性质：
1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
3、连接各组对应点的线段平行且相等。
作平移图形的一般步骤：
1、确定平移的方向和距离。
2、确定图形的关键点。
3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。
4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。
【考查题型】
考查题型一 利用对顶角相等进行相关计算
【解题思路】考查对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
典例1．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A．B．C．D．
变式1-1．（2020·湖南怀化市·中考真题）如图，已知直线，被直线所截，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．（2020·北京中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2B．∠2=∠3C．∠1＞∠4+∠5D．∠2＜∠5
考查题型二 利用邻补角相等求角的度数
【解题思路】利用邻补角的性质求角的度数关键：平角度数为180°．
典例2．（2020·山东东营市·中考真题）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．（2020·湖北孝感市·中考真题）如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2-2．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______．
考查题型三 平行线的判定
【解题思路】考查平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
典例3．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
变式3-1．（2020·浙江金华市·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
变式3-2．（2020·浙江衢州市·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
考查题型四 利用平行线的性质进行相关计算
典例4．（2020·贵州铜仁市·中考真题）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
变式4-1．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120°B．100°C．150°D．160°
变式4-2．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
变式4-3．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
变式4-4．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
考查题型五 平行线的应用
典例5．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
变式5-2．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16°B．28°C．44°D．45°
变式5-3．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A．62°B．56°C．28°D．72°
考查题型六 平行线性质与判定的综合应用
典例6．（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
变式6-1（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2．求CF的长．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
变式6-2．（2019·湖北武汉市·中考真题）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：
考查题型七 求平行线间的距离
典例7．（2019·湖北黄冈市·九年级零模）如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10B．小于10C．等于10D．不确定
变式7-1．（2020·贵州铜仁市·中考真题）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
考查题型八 利用平行线之间的距离解决实际问题
典例8．（2019·福建厦门市·中考模拟）如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( )
A．ABB．ADC．CED．AC
变式8-1．（2019·贵州贵阳市·九年级月考）如图,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式8-2．（2019·江苏无锡市·九年级零模）如图，a∥b∥c∥d∥e，且相邻两条直线之间的距离相等，△ABC的顶点A、B、C分别在a、c、e上，AB交b于点D，BC交d于点E，AC交b与点F，若△DEF的面积是1，则△ABC的面积是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°