专题10 二次根式（知识点串讲）-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型

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专题10 二次根式【思维导图】【知识要点】知识点一 二次根式的有关概念和性质二次根式概念：一般地，我们把形如（?≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。【注意】1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。2.二次根式是一个非负数。3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（?≥0）就表示a的算术平方根。二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。二次根式的性质：     1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。3．当a≧0时，知识点二 二次根式的运算二次根式的乘法法则:【注意】1、要注意这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。:3、乘法交换律在二次根式中仍然适用。二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：化简二次根式的步骤（易错点）：1.把被开方数分解因式(或因数) ；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(√?)^2=?（?≥0）把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简。二次根式的除法法则：【注意】1、要注意这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。2、在实际解题时，若不考虑a、b的正负性，直接得是错误的。二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：二次根式的特点：1.被开方数不含分母，例： ；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：   。【二次根式运算中的注意事项】一般将最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。二次根式比较大小：1、若，则有；2、若，则有．3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。【考查题型】考查题型一 二次根式有意义的条件【解题思路】次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．典例1．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．【详解】解：由题意得： 故选：变式1-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）二次根式中，x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【详解】解：根据题意得3+x≥0，解得：x≥﹣3，故x的取值范围在数轴上表示正确的是．故选：D．变式1-2．（2020·山东菏泽市·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．【详解】解：由题意得：解得：且 故选D．考查题型二 利用二次根式的性质化简【解题思路】算术平方根为非负数典例2．（2020·四川攀枝花市·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，∴===-2故选A.变式2-1．（2016·山东潍坊市·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是(    ) A．﹣2a-b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【详解】由图可知：，∴，∴.故选A.变式2-2．（2018·浙江杭州市·中考真题）化简的结果是（）A．－2 B．2 C． D．4【答案】B【分析】先将括号内的数化简，再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．【详解】==2，故选：B．变式2-3．（2015·四川绵阳市·中考真题）若，则（ ）A．-1 B．1 C．52015 D．-52015【答案】A【解析】由可得，解得，所以，故答案选A.考查题型三 二次根式的乘除运算【解题思路】考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键典例3．（2020·山东聊城市·中考真题）计算的结果正确的是（    ）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【详解】解：，故选：A．变式3-1．（2020·江苏南通市·中考真题）下列运算，结果正确的是（　　）A． B． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；D．，此选项计算正确；故选：D．变式3-2．（2020·广东广州市·中考真题）下列运算正确的是（  ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，同底数幂的相乘，幂的乘方运算法则依次判断即可得到答案.【详解】A、与不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项错误；B、，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、，故该选项正确，故选：D.考查题型四 判断最简二次根式【解题思路】最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．典例4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B．变式4-1．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.变式4-2．（2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是(     )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.【详解】A. ，故A选项不符合题意；B. ，故B选项不符合题意；C. ，故C选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D.考查题型五 同类二次根式的判断【解题思路】解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.典例5．（2020·上海中考真题）下列各式中与是同类二次根式的是A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.【详解】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；B、，3不是二次根式，故B选项错误；C、，与的被开方数相同，故C选项正确；D、，与的被开方数不同，故D选项错误；故选：C.变式5-1．（2020·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C．，此选项计算正确；D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．变式5-2．（2018·云南曲靖市·中考真题）下列二次根式中能与2合并的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；B、能与2合并，故该选项正确；C、＝3不能与2合并，故该选项错误；D、＝3不能与2合并，错误；故选B．考查题型六 二次根式的加减【解题思路】二次根式加减法的运算，掌握运算法则是解题关键典例6．（2020·内蒙古中考真题）的计算结果是（    ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．【详解】=,故选C．变式6-1．（2019·甘肃兰州市·中考真题）计算（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根据二次根式的加减法法则进行运算即可【详解】2－＝故选A变式6-2．（2018·上海中考真题）下列计算﹣的结果是（　　）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】先对二次根式进行化简，然后再合并同类二次根式即可得.【详解】﹣=3-=2，故选C．考查题型七 二次根式乘除混合运算【解题思路】考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．典例7．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）计算的结果是（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．【详解】解：原式= ==．故选B．变式7-1．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）估计的值应在 （    ）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】A【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】==2+，∵4<6<9，∵2<<3，∴4<2+<5，故选：A.变式7-2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）对于无理数，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是（   ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】分别计算出各选项的结果再进行判断即可．【详解】A．不能再计算了，是无理数，不符合题意；B．，是无理数，不符合题意；C．，是无理数，不符合题意；D．，是有理数，正确．故选：D．变式7-3．（2019·山东聊城市·中考真题）下列各式不成立的是（  ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．【详解】，A选项成立，不符合题意；，B选项成立，不符合题意； ，C选项不成立，符合题意； ，D选项成立，不符合题意；  故选C．考查题型八 分母有理化【解题思路】考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．典例8．（2019·江苏常州市·中考真题）下列各数中与的积是有理数的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；【详解】；故选D．变式8-1．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故选D．考查题型九 二次根式比较大小的方法典例9．（2018·河南中考模拟）比较大小：2____3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】＞【解析】详解：∵，  ∴．变式9-1．（2019·陕西中考模拟）比较大小：5_____．【答案】＞【详解】解：∵5=∴5故答案为＞．变式9-2．（2019·陕西中考模拟）比较大小：______．【答案】【详解】，，，故答案为：．