专题13 坐标系与参数方程-2021届高考数学重点专题强化卷

2021届高考数学重点专题强化卷专题13 坐标系与参数方程一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．椭圆上的点到直线的距离的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】C【详解】设点的坐标为，其中，则点到直线的距离，当时，等号成立.因为，所以.所以当时，取得最小值.故选：C.2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的对称中心是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，点在曲线上，，又，，所以曲线的对称中心是.故选：B3．当时，参数方程（t为参数）表示的图形是（    ）A．双曲线的一部分 B．椭圆（去掉一个点）C．抛物线的一部分 D．圆（去掉一个点）【答案】B【详解】时，可令，即有：，即，∴，不过点，故选：B4．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（    ）A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．【答案】D【详解】对曲线的方程消参可得：，即，，作图如下：若直线与曲线在第一象限内相切时，设其斜率为，设直线与曲线在第一象限的切点为，且因为，，故可得，则，即，解得（舍去）.故此时切点坐标为，对应直线的斜率.当直线过点时，设其斜率为，故可得.数形结合可知，当直线与曲线C在第一象限内有两个交点时，斜率的取值范围为，即为.故选：.5．（理）在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（    ）A．    和 B．和C．和 D．和【答案】B【详解】如图所示，在极坐标系中圆是以为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程的普通方程分别为，所以圆的两条切线方程的极坐标方程分别为，．故选：．6．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】将圆化成在平面直角坐标系下的形式，圆 ，圆心 为 ，半径 .已知直线，那么，圆心到直线的距离为 ，故直线与圆相离，所以上各点到的距离的最小值为.故选：A.7．已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ，M是曲线C上的动点．以原点O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点M到点T的距离的最大值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由于点为曲线的一个动点，故设点，则点到直线的距离： 所以当时，距离最大 ，点到直线的距离的最大值为；故答案选A8．已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线经过伸缩变换后，得到的曲线是（    ）A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线【答案】C【详解】解：由极坐标方程，可得：，即，曲线经过伸缩变换，可得，代入曲线可得：，∴伸缩变换得到的曲线是圆．故选：C．9．在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆的极坐标方程为A． B． C． D．【答案】A【详解】在中，令，得，所以圆的圆心坐标为（2，0）.因为圆经过点，所以圆的半径，于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.故选A10．点对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（  ）A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标．详解：点P对应的复数为，则点P的直角坐标为，点P到原点的距离，且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为，故选A．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点．11．已知圆的方程为，点是圆上的任一点，则不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：令，，，，令，则，，令，当时，，因为不等式恒成立，所以，即，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C12．在直角坐标系中，曲线的方程为：，直线的参数方程为：（为参数），若直线与曲线相交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】把代入，得，整理，得，所以因为为MN中点，所以，即，得，所以，故选D。二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．在极坐标系中，已知，，则，两点之间的距离为__________．【答案】【详解】根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，点，的直角坐标为： ，
故答案为．14．在极坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为，，若与交于，两点，为极点，则________．【答案】【详解】由题可得，曲线C的直角坐标方程为，即，故曲线C表示一个落在第一象限的圆， 则可设，，由，可得，从而，即，故．故答案为：.15．若直线始终平分曲线的周长，则的最小值为______.【答案】【详解】消去曲线的参数可得，可知该曲线是以为圆心，半径为1的圆，因为直线始终平分该圆周长，则圆心在直线上，代入得，，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的关系，考查基本不等式求最值，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.若，则________.【答案】或【详解】由题意圆的一般方程为，化为极坐标方程，将代入得，成立，设对应的极径是，则，，∴，∴，，，，∴（舍去），又，∴或．∴或．故答案为：或．三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10分）．已知圆的极坐标方程为：．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为3，最小值为．【详解】解：（1）由圆的极坐标方程为：，可得，即，所以直角坐标方程为．（2）圆的方程为，所以圆的参数方程为（为参数，），因为点在该圆上，所以，所以∵，∴的最大值为1，最小值为，所以的最大值为3，最小值为．18（12分）．在平面直角坐标系中，直线的方程为：，直线上一点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求出曲线的直角坐标方程并指出曲线是什么曲线；（2）直线与曲线相交于、两点，求的值.【答案】（1），圆；（2）.【详解】（1）曲线是一个圆.由得，即，整理得.（2）易知直线的斜率为，所以其倾斜角，所以直线的参数方程为（为参数）.将直线的参数方程代入曲线中整理得：，易得，设该方程的两根分别为和，则，，所以.19（12分）．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线及圆的极坐标方程；（2）若直线与圆交于两点，求的值.【答案】（1），；（2） .【详解】解：（1）由直线的参数方程，得其普通方程为，∴直线的极坐标方程为.又∵圆的方程为，将代入并化简得，∴圆的极坐标方程为.（2）将直线：，与圆：联立，得，整理得，∴.不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且.于是，.20（12分）．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线上的点的极径的最小值；（2）直线(为参数)，已知点，若直线与曲线有唯一公共点，求.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）对曲线消去参数，得，化为极坐标方程为，其中，所以，当时取等号，所以；（2）将直线的参数方程代入中并整理，得，解得，因为该直线过点，所以.21（12分）．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.【答案】（1）：，：（2）【详解】（1）曲线，把公式代入可得：曲线的极坐标方程为.设，则，则有.所以，曲线的极坐标方程为.（2）到射线的距离为，射线与曲线交点，射线与曲线交点∴      故22（12分）．在直角坐标系中，直线的参数方程为，，（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求证：直线与圆必有两个公共点；已知点的直角坐标为，直线与圆交于，两点，若，求的值.【答案】证明见解析；.【详解】解：由，，得曲线的直角坐标方程为.方法一：将代入，得，，方程有两个不等的实数解.直线与圆必有两个公共点.方法二：直线过定点，在圆内，直线与圆必有两个公共点.记，两点对应的参数分别为，，由可知，，，.