高中 数学 期末专区 高二上册 期末专题03 直线与圆、圆与圆位置关系（知识点串讲）

专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识点串讲）知识网络重难点突破知识点一  圆的标准方程与一般方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：半径：r＝例1.（成都七中2020年高二上半期考试）圆经过三点：，，.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆:的公共弦的长.
【变式训练1-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）如果实数x,y满足，那么的最大值是（   ）  A． B． C． D．【变式训练2-1】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考）在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为            知识点二  直线与圆的位置关系（相交、相切与相离）(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.例2.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）已知圆，（1）求过点的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.
【变式训练2-1】．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）A． B．1 C．2 D．【变式训练2-2】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考），且有四个子集，则的取值范围是_______．   知识点三  圆的综合应用设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).　方法位置关系　　　几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解例3.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）圆与圆的公切线条数是　A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练3-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【变式训练3-2】．如图，已知圆，圆．过原点的直线与圆，的交点依次是，，．（1）若，求直线的方程；（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程．                   专题03 直线与圆、圆与圆的位置关系（知识点串讲）知识网络重难点突破知识点一  圆的标准方程与一般方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：半径：r＝例1.（成都七中2020年高二上半期考试）圆经过三点：，，.（1）求圆的方程；（2）求圆与圆:的公共弦的长.【答案】（1） （2）．【解析】设圆方程为：.∵圆过，，，∴解得，，，∴圆方程为：.（2）圆的一般方程为：，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：.∴到直线距离，∴相交弦长.【变式训练1-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）如果实数x,y满足，那么的最大值是（   ）  A． B． C． D．【答案】 D．【解析】由得，∴表示圆上的点（x,y）与坐标原点(0,0）连线的斜率，故当连线与圆切于第一象限时斜率最大，设设倾斜角为，此时,从而,∴,故选D．【变式训练2-1】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考）在平面直角坐标系中，曲线围成的图形的面积为          【答案】【解析】因为，所以（1）即，得；（2）即，得；（3）即，得；（4）即，得，所以曲线围成的图形是四个半径为的圆，面积为。知识点二  直线与圆的位置关系（相交、相切与相离）(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.例2.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）已知圆，（1）求过点的圆的切线方程；（2）直线过点且被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；（3）过点的直线与圆于不同的两点、，线段的中点的轨迹为，直线与曲线只有一个交点，求的值.【答案】（1）（2）（3）或【解析】（1）由圆得，即表示以为圆心，以为半径的圆，当切线的斜率不存在时，切线方程为符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为，即所以，圆心到切线的距离等于半径，即，解得，，所以切线方程为，即.综上可得，圆的切线方程为或（2）当直线时，弦长最短，此时直线方程为.（3）因为点在圆上，依题意，得，设点，且为线段的中点，所以，所以，所以化简得，，由于点在圆内，去除点，所以，因为直线与曲线只有一个交点，所以圆心到直线的距离或，所以或.【变式训练2-1】．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.【变式训练2-2】．（四川成都华西中学2020年高二11月月考），且有四个子集，则的取值范围是_______．【答案】 ．【解析】A集合中点所在方程为，即椭圆的上半部分B集合中点所在方程为，即过定点的动直线有四个子集即直线与半椭圆有两个交点如图，临界情况为直线过椭圆右顶点和直线与椭圆相切，分别记为，，对应的斜率分别为，，则，联立，得，令可得，或（舍）故直线应在，之间，即，．知识点三  圆的综合应用设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).　方法位置关系　　　几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解例3.（四川成都华西中学2020年高二11月月考）圆与圆的公切线条数是　A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B．【解析】两圆圆心距为5，两圆半径，，∵，∴两圆相交，公切线条数为．故选B．【变式训练3-1】．（成都七中2020年高二上半期考试）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】 C．【解析】由题意得，两圆半径分别为，，而两圆的圆心距为，故选C． 【变式训练3-2】．如图，已知圆，圆．过原点的直线与圆，的交点依次是，，．（1）若，求直线的方程；（2）若线段的中点为，求点的轨迹方程．【解析】（1）设直线的方程为：，，到直线的距离为，，由条件，即，所以，整理，得，解得或.所以直线的方程为：或.（2）设，则由消去，得解得，．其中．所以.由消去，得，解得，.其中所以.设，则，消去，得：. （挖去点和）