【数学】福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题

福建省漳平市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题                 （考试时间：120分钟    总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题，使得，则为（     ） A. ，总有            B.，总有  C. ,使得           D.，使得 2. 已知向量，，且//，则（    ）A．-2        B．2       C．4     D．10  若， 则 （    ）A．2        B．-2       C．      D．4．双曲线的焦距为（     ）　A．    B．    C．    D．5. 不等式的一个必要不充分条件是（    ）　A．     B．      C．      D．6.已知函数 在处有极值2,则等于（    ）　A. 1 B. 2 C.  -2 D.   -17. 若抛物线上一点到焦点的距离为，以点为圆心且过点的圆与轴交于，两点，则（     ）A．8   B．   C． 6  D．38．空间四边形中,若则（    ）A．          B． 0            C．          D．19.若在上是减函数,则实数的范围是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 给出以下命题：①若，则异面直线与所成角的余弦值为；②若平面与平面的法向量分别是与，则；③已知三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足 ,则点平面；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（   　）A．1         B．2        C．3       D．411．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率（      ）　A．    B．      C．   D．12.已知，函数f(x)＝(x>0)的最小值为0，则实数的取值范围是（    ）　A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的离心率为，则实数_____________．14.函数在R上不是单调函数,则的取值范围是             15．已知双曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，若直线的斜率为，则直线的斜率为______________．16. 在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________①面；   ②面面；③点到面的距离为定值；④直线与面所成角的正弦值为定值.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分10分）已知函数，其导函数为,．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值． 18. （本小题满分12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；（Ⅰ）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．  19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点的横坐标为，．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程．    20. （本小题满分12分）如图，已知四边形和都是菱形，平面平面，且，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.   21.（本小题满分12分）已知函数. （Ⅰ）当时，试求的单调区间； （Ⅱ）若在内有极值，试求的取值范围.   22.（本小题满分12分）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点坐标为，椭圆的上顶点的坐标为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点．     参考答案一、    选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，题号123456789101112答案ABCDABCDABDC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.    14.      15.  2       16.  ①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分17.（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）   ……………………1分因为 所以,  解得, ……………………2分 所以,,   所以  ……………………3分,        ……………………4分所以曲线在点处的切线方程为． ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）当时,解得或,      ……………………6分当x变化时, ,的变化情况如下表： x   0递减极小值递增                                                -------------7分 所以的极小值为,          ……………………8分又,,         ……………………9分所以的最大值为,  最小值为．    ……………………10分18. （本小题满分12分）【解析】（I）以为轴建立空间直角坐标系，……………1分则可得，∴，，∴        ……………………5分∴异面直线与所成角的余弦值为     ……………………6分（Ⅱ）由（I）知，，，设平面的法向量为，则可得，即，取可得，……………9分设直线与平面所成的角为，则       …………………………11分∴直线与平面所成角的正弦值为     ……………12分19. （本小题满分12分）【解析】设，，（I）因为线段的中点的横坐标为，所以，即．…2分根据抛物线的定义可知，……………………4分所以，解得，所以抛物线的标准方程为．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题可设直线的方程为，．则由可得，……………………7分所以，解得（负值舍去），所以直线的方程为，即，……………………9分设与直线平行的直线的方程为，由可得，……………………10分令，解得，故与直线平行且与抛物线相切的直线方程为．……………………12分20. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连结，四边形和都是菱形，且，三角形和三角形都是等边三角形， ， ， 又，平面，又平面，所以；             ……………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又平面平面且交于，平面 平面， ，……………………………………6分三条直线两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则，…………………………7分,,设平面的法向量， 由，可得， 所以可取          ……………………………………………9分同理可取        ……………………………………………10分，              ……………………………………………11分又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．   …………………12分21. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）     --------2分              当时，对于， 恒成立，    -------------3分令 得；      令 得    ------------4分所以函数单调增区间为，单调减区间为 ． -------------5分（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解．-------------6分令   .-------------7分设  ,  所以 ,    当时， 恒成立，  所以单调递减.   ------------8分    又因为，又当时， ,即在上的值域为,       -------------9分   所以  当时， 在内有解. -------10分设，则 ，所以在单调递减.因为， ,所以在有唯一解.        所以有：00极小值所以 当时， 在内有极值且唯一.综上， 的取值范围为．      -------------12分22. （本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设，，因为线段的中点坐标为，所以，（2分）又，，上述两式相减可得，因为直线的斜率为，即，所以，（4分）又因为椭圆的上顶点的坐标为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为，（6分）（Ⅱ）设点，，将代入，消去可得，则，，（8分）所以，所以，化简得，（10分）所以直线的方程为，即，令，可得，所以直线过点，故直线过定点．（12分）