2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第八章第二节空间几何体的表面积与体积

第二节空间几何体的表面积与体积


一、基础知识批注——理解深一点
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l

①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：

2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

二、常用结论汇总——规律多一点

几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

三、基础小题强化——功底牢一点

　(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)
(4)球的体积之比等于半径之比的平方．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
(二)选一选
1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)
A.π　　　　　　　　　 B.π
C．16π D．24π
解析：选B　设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR3＝π.
2．正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为(　　)
A．3 B.
C．1 D.
解析：选C　由题意可知AD⊥BC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面DB1C1，又AD＝2·sin 60°＝，所以VA­B1DC1＝AD·S△B1DC1＝×××2×＝1，故选C.
3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析：选C　设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.

(三)填一填
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.
答案：3
5．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：设六棱锥的高为h，斜高为h′，则由体积V＝××h＝2，得h＝1，h′＝＝2.
所以侧面积为×2×h′×6＝12.
答案：12


[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)
A．12π　　　　　　　　 B．12π
C．8π D．10π
(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是(　　)

A．4＋4 B．4＋2
C．8＋4 D.
[解析]　(1)设圆柱的轴截面的边长为x，
则x2＝8，得x＝2，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2
＝12π.故选B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P­ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×＝4＋4，故选A.
[答案]　(1)B　(2)A
[解题技法]　求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则
几何体的
表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

[题组训练]
1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为(　　)

A．28 B．24＋2
C．20＋4 D．20＋2
解析：选B　如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE­DCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋×2＋2×1＋2×＝24＋2.故选B.
2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)

A．20＋π B．24＋(－1)π
C．24＋(2－)π D．20＋(＋1)π
解析：选B　由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S＝6×22－π×12＋π×1×＝24＋(－1)π，故选B.

求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法
[典例]　(1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)

A．4π　　　　　　　　 B．2π
C. D．π
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为________．

[解析]　
(1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面积为××22＝，则该几何体的体积为×3＝2π.
(2)法一：直接法
连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，
所以A1E为四棱锥A1­BB1D1D的高，且A1E＝，
矩形BB1D1D的长和宽分别为，1，
故VA1­BB1D1D＝×(1×)×＝.
法二：割补法
连接BD1，则四棱锥A1­BB1D1D分成两个三棱锥B­A1DD1与B­A1B1D1，所以VA1­BB1D1D＝VB­A1DD1＋VB­A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.
[答案]　(1)B　(2)

［解题技法］
1．处理体积问题的思路

2．求体积的常用方法
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体
积法
选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

[题组训练]

1.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
2.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(　　)

A．13 B．14
C．15 D．16
解析：选C　所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD­A′B′C′D′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V＝4×2×3－2××3××2＝15，故选C.
3.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.＋π　　　　　　　 B.＋π
C.＋π D．1＋π
解析：选C　由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋××3＝＋π.


考法(一)　球与柱体的切、接问题
[典例]　(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
[解析]　设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
[答案]　

考法(二)　球与锥体的切、接问题
[典例]　(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)
A．12　　　　　　　　 B．18
C．24 D．54
[解析]　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18.
[答案]　B

[解题技法]
1．“切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体．解答时要找准切点，通过作截面来解决．
(2)“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
2．巧用外接球组合体作图的方法口诀
外接球，有难题，作图技巧要牢记；
大圆正视小圆平，对称图形抓对称；
内接图形坐小圆，力求顶点大圆圈；
小圆垂直连心线，位置关系细查看．

[题组训练]

1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　)
A．4π B.π
C.π D．16π

解析：选D　如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，
于是，球的半径r＝OB＝＝ ＝2.
故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.故选D.
2．三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．
解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝π.
答案：π


1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则22＝12＋r2，所以r2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为＝，故选A.
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为(　　)

A．4 B．8
C．16 D．20
解析：选B　由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V＝××6×2×4＝8.故选B.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
解析：选B　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．
4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．35 cm3 B．40 cm3
C．70 cm3 D．75 cm3
解析：选A　结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm的长方体，棱长为1 cm的正方体，故该组合体的体积V＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm3)．故选A.
5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．1 B.
C. D.
解析：选C　法一：该几何体的直观图为四棱锥S ­ABCD，如图，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝DC＝1，连接BD，由题意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四边形ABCD＝1，所以VS­ABCD＝S四边形ABCD·SD＝，故选C.
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V＝Sh，其中S指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S＝1，h指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h＝1，所以V＝Sh＝，故选C.
6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为(　　)

A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析：选B　由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为＝2，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为2，所以该组合体的体积V＝×π×22×2＋××4×2×2＝＋，故选B.
7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为(　　)

A．16＋12π B．32＋12π
C．24＋12π D．32＋20π
解析：选A　由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2，该几何体的表面积S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16，故选A.
8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC­A1B1C1外接球的表面积为(　　)
A．4π B．8π
C．16π D．32π
解析：选C　如图所示，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝.又一个侧面的周长为6，所以AA1＝2.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C.
9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.
设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，
所以这个球的体积为πR3＝×＝.
答案：
10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．

解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.
答案：
11．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________．
解析：设圆锥底面半径是r，母线长为l，所以πr2＋πrl＝π，即r2＋rl＝1，根据圆心角公式＝，即l＝3r，所以解得r＝，l＝，那么高h＝＝.
答案：
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，
∵SC为球O的直径，
∴点O为SC的中点，
∵SA＝AC，SB＝BC，
∴AO⊥SC，BO⊥SC，
∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
∴AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，
则OA＝OB＝R，SC＝2R.
∴VS ­ABC＝VA­SBC＝×S△SBC×AO
＝××AO，
即9＝××R，解得 R＝3，
∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π

13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：
(1)该几何体的体积；
(2)截面ABC的面积．
解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2
＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
(2)在△ABC中，AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝2.
则S△ABC＝×2×＝.

14.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E­ACD的体积，求该三棱锥E­ACD的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BE⊥AC.
因为BD∩BE＝B，BD ⊂平面BED，BE ⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，
所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E­ACD的体积
V三棱锥E­ACD＝·AC·GD·BE＝x3＝，
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E­ACD的侧面积为3＋2.