2020届高考数学一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 65(含解析)

【课时训练】第65节　直接证明与间接证明

一、选择题

1.(2018滨州模拟)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)

A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)

C.a2＋3ab>2b2 D.<

答案为：B

解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)=(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)=(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.

2.(2018山东济南模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(　　)

A.三个内角都不大于60°

B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°

D.三个内角至多有两个大于60°

答案为：B

解析：应假设“三个内角都大于 60°”，故选B.

3.(2018咸阳模拟)已知m>1，a=－，b=－，则以下结论正确的是(　　)

A.a>b B.a<b

C.a=b D.a，b大小不定

答案为：B

解析：∵a=－=，

b=－=.

而＋>＋＞0(m＞1)，

∴<，即a<b.

4.(2018广东七校联考)①已知p3＋q3=2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确；②的假设错误

D.①的假设错误；②的假设正确

答案为：D

解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.

5.(2018天津河西模拟)已知函数f(x)=x，a，b是正实数，A=f，B=f()，C=f，则A，B，C的大小关系为(　　)

A.A≤B≤C B.A≤C≤B

C.B≤C≤A D.C≤B≤A

答案为：A

解析：∵≥≥，又f(x)=x在R上是减函数，

∴f≤f()≤f.

6.(2018长沙一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)

A.都大于2 B.都小于2

C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

答案为：D

解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋=＋＋≥6，当且仅当a=b=c=1时，“=”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.

二、填空题

7.(2018吉林九校联考)＋与2　＋的大小关系为________.

答案为：＋>2　＋

解析：要比较＋与2　＋的大小，只需比较(＋)2与(2　＋)2的大小，即比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，

∵42>40，∴＋>2　＋.

8.(2018贵州贵阳二模)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_______________________________________________________________________________________________________________________.

答案为：a，b都不能被5整除

9.(2018九江调研)下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.

答案为：①③④

解析：要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.

10.(2018山东日照质检)如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________.

答案为：a≥0，b≥0且a≠b

解析：∵a＋b－(a＋b)=(a－b)＋(b－a)=(－)(a－b)=(－)2(＋).

∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.

∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.

三、解答题

11.(2018吉林实验中学月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.

【证明】∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.

又上述三个不等式中等号不能同时成立.

∴··＞abc成立.

上式两边同时取常用对数，

得lg ＞lg (abc)，

∴lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.

12.(2018河南师大附中期末)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.

(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；

(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？

(1)【证明】假设数列{Sn}是等比数列，则S=S1S3，

即a(1＋q)2=a1·a1·(1＋q＋q2)，

因为a1≠0，所以(1＋q)2=1＋q＋q2，

即q=0，这与公比q≠0矛盾，

所以数列{Sn}不是等比数列.

(2)【解】当q=1时，Sn=na1，故{Sn}是等差数列；

当q≠1时，{Sn}不是等差数列，

否则2S2=S1＋S3，即2a1(1＋q)=a1＋a1(1＋q＋q2)，

得q=0，这与公比q≠0矛盾.

综上，当q=1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.