2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 7(含解析)

【课时训练】第7节　幂函数与二次函数

一、选择题　　　　　　　　　　　　　

1.(2018湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x，则(　　)

A.∃x0∈R，使得f(x)<0

B.∀x>0, f(x)>0

C.∃x1，x2∈[0，＋∞)，使得 <0

D.∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)>f(x2)

答案为：B

解析：由题得，f(x)=，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A不成立，根据单调性可知C也不成立，而D中，当x1=0时，不存在x2∈[0，＋∞)，使得f(x1)>f(x2)，所以D不成立.故选B.

2.(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈，则使f(x)=xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案为：A

解析：由f(x)=xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又f(x)=xα为奇函数，所以α只能取－1.

3.(2018福建六校联考)若幂函数y=(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)

A.－1≤m≤2 B.m=1或m=2

C.m=2   D.m=1

答案为：B

解析：由幂函数性质可知m2－3m＋3=1，∴m=1或m=2.又函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.∴m=1或m=2.

4.(2018天津河东区模拟)若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x=0对称，则f(x)的最大值是(　　)

A.－4 　  B.4

C.4或－4   D.不存在

答案为：B

解析：由题意知，函数f(x)是偶函数，则y=x2＋ax－5是偶函数，故a=0.则f(x)=(1－x2)(x2－5)=－x4＋6x2－5=－(x2－3)2＋4.故当x2=3时， f(x)取最大值为4.

5.(2018广东惠州一模)已知函数f(x)=x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是(　　)

A.f(m)<f(0) B.f(m)=f(0)　

C.f(m)>f(0)   D.f(m)与f(0)大小不确定

答案为：A

解析：因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m=0，解得m=3或m=－1.当m=3时，函数f(x)=x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m=－1时，函数f(x)=x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0).

6.(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)=x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是(　　)

A.[－2,2] B.(－2,2]　

C.[－4,2]   D.[－4,4]

答案为：A

解析：由题意知 f(2)=8，则f(－a)＋f(a)=2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.

7.(2018云南大理一模)设函数f(x)=x2－23x＋60，g(x)=f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)=(　　)

A.56 B.112　

C.0   D.38

答案为：B

解析：由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时， f(x)＋|f(x)|=0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)=g(1)＋g(2)=f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|=112.

8.(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)=(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值(　　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0 D.无法判断

答案为：A

解析：∵函数f(x)=(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1=1，解得m=2或m=－1.又由题易知函数f(x)在第一象限是增函数，当m=2时，指数为4×29－25－1=2 015>0，满足题意，当m=－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1=－4<0，不满足题意.∴幂函数f(x)=x2 015，它是定义在R上的奇函数，且是增函数.又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)=－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.

二、填空题

9.(2018河南百校联盟质检)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________.

答案为：(－∞，－3]

解析：因为函数f(x)=x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x=1时，f(x)min=1－4=－3，所以m≤－3.

10.(2018四川遂宁零诊)已知点P1(x1,2 018)和P2(x2，2 018)在二次函数f(x)=ax2＋bx＋9的图象上，则f(x1＋x2)的值为________.

答案为：9

解析：依题意得x1＋x2=－，则f(x1＋x2)=f=a2＋b＋9=9.

11.(2019福建泉州质检).若二次函数f(x)=ax2－x＋b的最小值为0，则a＋4b的取值范围为________.

答案为：[2，＋∞)

解析：由已知可得，a>0，且判别式Δ=1－4ab=0，即ab=，∴a＋4b≥2=2，即a＋4b的取值范围为[2，＋∞).

12.(2018江苏兴化三校联考)已知函数f(x)=x|x－2|在[0，a]上的值域为[0,1]，则实数a的取值范围是________.

答案为：[1,1＋]

解析：函数f(x)=x|x－2|=则易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0).因为由2x－x2=1(x≤2)解得x=1，由x2－2x=1(x>2)解得x=1＋，且f(x)在[0，a]上的值域为[0,1]，所以1≤a≤1＋.

三、解答题

13.(2018杭州模拟)已知函数h(x)=(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数.

(1)求m的值；

(2)求函数g(x)=h(x)＋，x∈的值域.

【解】(1)∵函数h(x)=(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，∴m2－5m＋1=1，解得m=0或5.又h(x)为奇函数，∴m=0.

(2)由(1)可知g(x)=x＋，x∈，令=t，则x=－t2＋，t∈[0,1]，

∴f(t)=－t2＋t＋=－(t－1)2＋1∈，

故g(x)=h(x)＋，x∈的值域为.

14.(2018四川成都二诊)已知函数f(x)=ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R).

(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)=0，且c=1，F(x)=求F(2)＋F(－2)的值；

(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围.

【解】(1)由已知c=1，a－b＋c=0，

且－=－1，解得a=1，b=2.

∴f(x)=(x＋1)2.

∴F(x)=

∴F(2)＋F(－2)=(2＋1)2－(－2＋1)2=8.

(2)由题意可知， f(x)=x2＋bx，则原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立.

又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2，

所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].