2020届高考数学一轮复习课时训练：第1章 集合与常用逻辑用语 3(含解析)

【课时训练】第3节　逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题

1.(2018内蒙古呼和浩特质检)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A.命题¬p是真命题

B.命题p是特称命题

C.命题p是全称命题

D.命题p既不是全称命题也不是特称命题

答案为：C

解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题.故选C.

2.(2018湖北宜昌葛洲坝中学月考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)

A.(¬p)∨(¬q) B.p∨(¬q)

C.(¬p)∧(¬q) D.p∨q

答案为：A

解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”表示学员甲、乙两人中有人没有降落在指定范围，所以应该是(¬p)∨(¬q).故选A.

3.(2018梅州质检)下列命题为假命题的是(　　)

A.∀x∈R,2x－1>0 B.∀x∈N*，(x－1)2>0

C.∃x∈R，ln x<1 D.∃x∈R，tan x=2

答案为：B

解析：由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，A正确；当x=1时，(x－1)2=0，B错误；当0<x<e时，ln x<1，C正确；函数y=tan x的值域为R，故∃x∈R，tan x=2，D正确.

4.(2018西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)

A.p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B.p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

C.p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D.p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

答案为：B

解析：∵3x0>0，∴3x0＋1>1，则log2(3x0＋1)>0，∴p是假命题，则¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.

5.(2018长沙长郡中学摸底)有下列四个命题，其中真命题是(　　)

A.∀n∈R，n2≥n B.∃n∈R，∀m∈R，m·n=m

C.∀n∈R，∃m∈R，m2<n D.∀n∈R，n2<n

答案为：B

解析：对于选项A，令n=即可验证其为假命题；对于选项C、选项D，可令n=－1加以验证，均为假命题.故选B.

6.(2018山西太原质检)命题p：∃x∈N，x3<x2，命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)=loga(x－1)的图象过点(2,0)，则(　　)

A.p假q真　　　　　　　　 B.p真q假

C.p假q假  D.p真q真

答案为：A

解析：∵x3<x2，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，将x=2代入f(x)中，得f(x)=0，故命题q为真命题.选A.

7.(2018昆明一中考前强化)已知命题p：∀x∈R，x＋≥2，命题q：∃x0∈，使sin x0＋cos x0=，则下列命题中为真命题的是(　　)

A.(¬p)∧q 　  B.p∧(¬q)　

C.(¬p)∧(¬q)  D.p∧q

答案为：A

解析：当x<0时，x＋<0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题；sin x＋cos x=sin，当x=时，sin x＋cos x=，所以q为真命题.由此可得(¬p)∧q为真命题.故选A.答案为：A　对于命题p：取α=，则cos(π－α)=cos α，所以命题p为真命题；对于命题q：因为x2≥0，所以x2＋1>0，所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.故选A.

8.(2018衡阳质检)已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)=cos α；命题q：∀x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是(　　)

A.p∧q是真命题　 B.p∧q是假命题

C.¬p是真命题  D.p是假命题

答案为：A

解析：对于命题p：取α=，则cos(π－α)=cos α，所以命题p为真命题；对于命题q：因为x2≥0，所以x2＋1>0，所以q为真命题.由此可得p∧q是真命题.故选A.

9.(2018广东深圳第一次调研)设有下面四个命题：

p1：∃n∈N，n2>2n；

p2：x∈R，“x>1”是“x>2”的充分不必要条件；

p3：命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题是“若sin x≠sin y，则x≠y”；

p4：若“p∨q”是真命题，则p一定是真命题.

其中为真命题的是(　　)

A.p1，p2 B.p2，p3

C.p2，p4 D.p1，p3

答案为：D

解析：∵n=3时，32>23，∴∃n∈N，n2>2n，

∴p1为真命题，可排除B，C选项.∵(2，＋∞)⊂(1，＋∞)，∴x>2能推出x>1，x>1不能推出x>2，x>1是x>2的必要不充分条件，∴p2是假命题，排除A.故选D.

10.(2018广东中山一中统测)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0=1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，现有以下结论：

①命题“p∧q”是真命题；

②命题“p∧(¬q)”是假命题；

③命题“(¬p)∨q”是真命题；

④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题.

其中正确的是(　　)

A.②③　 B.①②④　

C.①③④  D.①②③④

答案为：D

解析：∵命题p：∃x0∈R，使tan x0=1为真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也为真命题，∴“p∧q”是真命题，“p∧¬q”是假命题，“¬p∨q”是真命题，“¬p∨¬q”是假命题.故①②③④都正确.

11.(2018福建三校联考)若命题“∃x0∈R,3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a取值范围是(　　)

A.(－，)  　　　 B.(－∞，－]∪[，＋∞)

C.[－，]   D.(－∞，－)∪(，＋∞)

答案为：C

解析：命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”为真命题，故Δ=4a2－12≤0，解得a∈[－，].故选C.

12.(2018郑州质量预测)已知函数f(x)=x＋，g(x)=2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1]   B.[1，＋∞)　

C.(－∞，2]  D.[2，＋∞)

答案为：A

解析：由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min=f(1)=5，g(x)min=g(2)=4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.故选A.

二、填空题

13.(2019山东烟台模拟)若命题p：∀x∈R，<0，则¬p：

_________________________________________________.

答案为：∃x∈R，使得>0或x=3

解析：命题p是一个全称命题，它的否定是特称命题.其否定为：∃x∈R，使得>0或x=3.

14.(2018山东菏泽第一中学月考)若命题“∀x∈[2,3]，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________.

答案为：(－∞，4]

解析：由题意得a≤x2在[2,3]上恒成立，而当x∈[2,3]时，4≤x2≤9，∴a≤4.故实数a的取值范围是(－∞，4].

15.(2018四川省级联考)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a=0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________.

答案为：(－∞，－2]

解析：由题意可知p和q均为真命题，则解得a≤2.

16.(2018陕西西安一中期末)下列结论：

①若命题p：∃x0∈R，tan x0=2，命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；

②已知直线l1：ax＋3y－1=0，l2：x＋by＋1=0，则l1⊥l2的充要条件是=－3；

③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”.

其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上)

答案为：①③

解析：在①中，命题p，q都是真命题，故“p∧(¬q)”是假命题是正确的；在②中，由l1⊥l2，得a＋3b=0，所以②不正确；在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确.