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2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义:第七章 不等式、推理与证明7.6
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§7.6 直接证明与间接证明
最新考纲
考情考向分析
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点.
2.了解反证法的思考过程和特点.
常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何,不等式的证明为载体加以考查,注意提高分析问题、解决问题的能力;在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中档.
1.直接证明
内容
综合法
分析法
定义
从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论的方法,是一种从原因推导到结果的思维方法
从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法,是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法
特点
从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的必要条件
从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件
步骤的符号表示
P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)
B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)
2.间接证明
(1)反证法的定义:
一般地,由证明p⇒q转向证明
綈q⇒r⇒…⇒t
t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.
(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤:
①分清命题的条件和结论;
②做出与命题结论相矛盾的假定;
③由假定出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;
④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
概念方法微思考
1.直接证明中的综合法是演绎推理吗?
提示 是.用综合法证明时常省略大前提.
2.综合法与分析法的推理过程有何区别?
提示 综合法是执因索果,分析法是执果索因,推理方式是互逆的.
3.反证法是“要证原命题成立,只需证其逆否命题成立”的推理方法吗?
提示 不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × )
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a0,Q>0,∴P>Q.
3.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,则+等于( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案 B
解析 由题意,得x=,y=,b2=ac,
∴xy=,
+==
==
==
==2.
题组三 易错自纠
4.若a,b,c为实数,且a
答案 B
解析 a2-ab=a(a-b),
∵a0,∴ab>b2,②
由①②得a2>ab>b2.
5.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是( )
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
答案 A
解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A.
6.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则△ABC的形状为________.
答案 等边三角形
解析 由题意得2B=A+C,
∵A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,
∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c,
∴A=C,∴A=B=C=,
∴△ABC为等边三角形.
题型一 综合法的应用
例1 已知a,b,c>0,a+b+c=1.求证:
(1)++≤;
(2)++≥.
证明 (1)∵(++)2=(a+b+c)+2+2+2≤(a+b+c)+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3,
∴++≤(当且仅当a=b=c时取等号).
(2)∵a>0,∴3a+1>1,
∴+(3a+1)≥2=4,
∴≥3-3a,
同理得≥3-3b,≥3-3c,
以上三式相加得
4≥9-3(a+b+c)=6,
∴++≥(当且仅当a=b=c=时取等号).
思维升华 (1)从已知出发,逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法;(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程,也是使用的综合法.
跟踪训练1 设Tn是数列{an}的前n项之积,并满足:Tn=1-an.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)令bn=,证明:{bn}的前n项和Sn0,a+≥2显然成立
,
所以要证的不等式成立.
题型三 反证法的应用
例3 设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a0,得ab=1.
(1)由均值不等式及ab=1,
有a+b≥2=2,即a+b≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.
(2)假设a2+a-x2,f(x1)1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
答案 C
解析 若a=,b=,则a+b>1,
但a1,故⑤推不出;
对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,
下面用反证法证明:
假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2与a+b>2矛盾,
因此假设不成立,a,b中至少有一个大于1.
6.用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________.
答案 x≠-1且x≠1
解析 “x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.
7.如果a+b>a+b成立,则a,b应满足的条件是__________________________.
答案 a≥0,b≥0且a≠b
解析 ∵a+b-(a+b)
=(a-b)+(b-a)
=(-)(a-b)
=(-)2(+).
∴当a≥0,b≥0且a≠b时,(-)2(+)>0.
∴a+b>a+b成立的条件是a≥0,b≥0且a≠b.
8.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N+,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为____________.
答案 cn+10,如果不等式+≥恒成立,则m的最大值为________.
答案 9
解析 因为a>0,b>0,所以2a+b>0.
所以不等式可化为m≤(2a+b)
=5+2.
因为5+2≥5+4=9,当且仅当a=b时,等号成立,
即其最小值为9,所以m≤9,即m的最大值等于9.
10.在不等边三角形ABC中,a为最大边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.
答案 a2>b2+c2
解析 由余弦定理cos A=lg a+lg b+lg c.
证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),
∴≥ >0,≥ >0,≥ >0.
由于a,b,c是不全相等的正数,
∴上述三个不等式中等号不能同时成立,
∴··>abc>0成立.
上式两边同时取常用对数,得
lg>lg abc,
∴lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
12.若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,
g(1)=1,g(b)=b,即b2-b+=b,解得b=1或b=3.
因为b>1,所以b=3.
(2)假设存在常数a,b (a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b] 上的“四维光军”函数,
因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,
所以有即
解得a=b,这与已知矛盾.故不存在.
13.已知函数f(x)=x,a,b是正实数,A=f,B=f(),C=f,则A,B,C的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
答案 A
解析 ∵≥≥,
又f(x)=x在R上是减函数.
∴f ≤f()≤f ,即A≤B≤C.
14.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是____________.
答案
解析 方法一 (补集法)若二次函数f(x)≤0在区间[-1,1]内恒成立,
则
解得p≤-3或p≥,
故满足题干条件的p的取值范围为.
方法二 (直接法)依题意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1
