2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝❷.

2．三角函数的诱导公式

作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．

作用：切化弦，弦切互化．

[熟记常用结论]

同角三角函数的基本关系式的几种变形

(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；

cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

(2)sin α＝tan αcos α.

(3)sin2α＝＝；

cos2α＝＝.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1.(　　)

(3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)

(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)

(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

二、选填题

1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　　)

A．－2　　　　　　　　　 B．2

C.  D．－

解析：选D　因为≤α≤π，所以cos α＝－

＝－ ＝－，所以tan α＝＝－.

2．已知sin＝，那么cos α＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选C　∵sin＝sin＝cos α，

∴cos α＝.

3．sin 210°cos 120°的值为(　　)

A.  B．－

C．－  D.

解析：选A　sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)

＝－×＝.

4．若sin θcos θ＝，则tan θ＋＝________.

解析：tan θ＋＝＋＝＝2.

答案：2

5．已知tan α＝2，则的值为________．

解析：＝＝＝3.

答案：3

6．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.

答案：－sin2α

考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关]

[考法全析]

考法(一)　公式的直接应用

[例1]　(1)已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin α＝(　　)

A．－　　　　　　　 B.

C．±  D.

(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.

[解析]　(1)由cos α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin α＝.

(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.

[答案]　(1)B　(2)44

考法(二)　sin α，cos α的齐次式问题

[例2]　已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

[解]　由已知得tan α＝.

(1)＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

考法(三)　“sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用

[例3]　已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

[解]　(1)由sin x＋cos x＝，

平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，知sin x＜0，

又sin x＋cos x＞0，

∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝

＝＝－.

[规律探求]

 [过关训练]

1．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)

A．3  B．－3

C．1  D．－1

解析：选B　由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，

故原式＝＋＝＋

＝－1－2＝－3.

2．(2019·合肥模拟)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，则tan x＝(　　)

A．－  B.

C.  D．－

解析：选D　∵sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sin xcos x＝1－，∴2sin xcos x＝－＜0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝＝，结合已知解得sin x＝，cos x＝－，则tan x＝＝－.

3．若3sin α＋cos α＝0，则的值为________．

解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，

∴＝＝

＝＝.

答案：

考点二诱导公式的应用[师生共研过关]

[典例精析]

(1)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.

(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．

[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.

(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.

[答案]　(1)　(2)0

[解题技法]

1．利用诱导公式解题的一般思路

(1)化绝对值大的角为锐角．

(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

2．常见的互余和互补的角

[提醒]　对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．

[过关训练]

1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________.

解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝＋＋1＝2.

答案：2

2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.

解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题意知sin α＝－，故cos α＝－，tan α＝，所以原式＝＝－tan2α＝－.

答案：－

3．(2018·大连二模)已知sin＝，则cos＝(　　)

A.　　 B．－　　　C.　　　D．－

解析：选B　由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.

考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关]

[典例精析]

已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f＋f的值．

解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝＝sin2x；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝

＝

＝

＝sin2x，

综上得f(x)＝sin2x.

(2)由(1)得f＋f

＝sin2＋sin2

＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.

[解题技法]

求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求

[过关训练]

1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选C　由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0.

tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，

又α为锐角，故sin α＝.

2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝________.

解析：由tan(π－α)＝－，得tan α＝，

则＝＝＝＝－.

答案：－

3．已知sin α＋cos α＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．

解析：由sin α＋cos α＝－平方得sin αcos α＝－，∵＜α＜π，∴sin α－cos α＝＝，∴＋＝－＝＝＝.

答案：