2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第三章第三节导数的综合应用第三课时　导数与函数的零点问题

第三课时　导数与函数的零点问题

考法一　判断函数零点的个数

[典例]　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．

[解]　由题设，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，

令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．

设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，

则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点．

所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.

由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，

可知①当m＞时，函数g(x)无零点；

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点．

函数零点个数也就是函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：

(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；

(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．　　

[过关训练]

1．[口诀第1、2句]已知函数f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，求方程f(x)＝0的解的个数．

解：因为f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－(x＞0)，

所以f′(x)＝－x＋2＝＝，

当x∈(0,3)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；

当x∈(3，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以f(x)max＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0，

因为当x→0时，f(x)→－∞；当x→＋∞时，f(x)→－∞，

所以方程f(x)＝0只有一个解．

2．[口诀第3、4句]设f(x)＝x－－2ln x.

(1)求证：当x≥1时，f(x)≥0恒成立；

(2)讨论关于x的方程x－－f(x)＝x3－2ex2＋tx根的个数．

解：(1)证明：f(x)＝x－－2ln x的定义域为(0，＋∞)．

∵f′(x)＝1＋－＝＝≥0，

∴f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数，

∴f(x)≥f(1)＝1－1－2ln 1＝0对于x∈[1，＋∞)恒成立．

故当x≥1时，f(x)≥0恒成立得证．

(2)化简方程得2ln x＝x3－2ex2＋tx.

注意到x＞0，则方程可变为＝x2－2ex＋t.

令L(x)＝，H(x)＝x2－2ex＋t，

则L′(x)＝.

当x∈(0，e)时，L′(x)＞0，∴L(x)在(0，e)上为增函数；

当x∈(e，＋∞)时，L′(x)＜0，∴L(x)在(e，＋∞)上为减函数．

∴当x＝e时，L(x)max＝L(e)＝.

函数L(x)＝，H(x)＝(x－e)2＋t－e2在同一坐标系内的大致图象如图所示．

由图象可知，①当t－e2＞，即t＞e2＋时，方程无实数根；

②当t－e2＝，即t＝e2＋时，方程有一个实数根；

③当t－e2＜，即t＜e2＋时，方程有两个实数根．

考法二　 由函数零点个数求参数

[典例]　(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax2.

(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.

[解]　(1)证明：当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.

设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，

则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.

当x≠1时，g′(x)＜0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．

而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.

(2)设函数h(x)＝1－ax2e－x.

f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；

(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.

当x∈(0,2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.

所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．

故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)上的最小值．

①当h(2)＞0，即a＜时，h(x)在(0，＋∞)上没有零点．

②当h(2)＝0，即a＝时，h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

③当h(2)＜0，即a＞时，因为h(0)＝1，所以h(x)在(0,2)上有一个零点．

由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0，故h(x)在(2,4a)上有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)上有两个零点．

综上，当f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点时，a＝.

根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．　　

[过关训练]

1．(2019·安阳一模)已知函数f(x)＝＋与g(x)＝6x＋a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是________．

解析：原问题等价于函数h(x)＝＋－6x与函数y＝a的图象有3个不同的交点，

由h′(x)＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)，得x＝2或x＝－3，

当x∈(－∞，－3)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；

当x∈(－3,2)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．

且h(－3)＝，h(2)＝－，

数形结合可得a的取值范围是.

答案：

2．(2019·赣州模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：∵f(x)＝aex－x－2a，∴f′(x)＝aex－1.

当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；

当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数f(x)在 上单调递减，在上单调递增，

∴f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋ln a－2a.

令g(a)＝1＋ln a－2a(a＞0)，则g′(a)＝－2.

当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，

∴g(a)max＝g＝－ln 2＜0，

∴f(x)的最小值为f＜0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．

综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)