2021年数学（通用版）九年级中考一轮复习专项训练：考察证明、长度与面积、动点问题等（四）

2021年数学（通用版）九年级中考一轮复习专项训练：
考察证明、长度与面积、动点问题等（四）

1．已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．
（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；
（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．


2．如图，点A、B、C、D是直径为AB的⊙O上的四个点，CD＝BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：DC2＝CE•AC；
（2）若AE＝2EC，求之值；
（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，若S△ACH＝9，求EC之长．


3．如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．




4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．


5．如图所示，已知P是直线y＝﹣x+4上位于第一象限内的动点，P′是点P关于x轴的对称点．
（1）设P点坐标是（x，y），△OPP′的面积为S，写出S关于x的函数关系式；
（2）设⊙O′为△OPP′的外接圆，当直线AB和⊙O′相切于点P′时，求△OPP′的外接圆半径R的值．
（3）求△OPP′周长C的最小值．





6．已知：△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交CA的延长线于点D，连接OB．
（1）如图1，求证：∠DAB＝∠DBC；
（2）如图2，过点D作DM⊥AB于点M，连接AO，交BC于点N，BM＝AM+AD，求证：BN＝CN；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E为⊙O上一点，过点E的切线交DB的延长线于点P，连接CE，交AO的延长线于点Q，连接PQ，点F为AN上一点，连接CF，若∠DCF+∠CDB＝90°，tan∠ECF＝2，，PQ+OQ＝6，求CF的长．

7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．



8．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OE为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．
（1）AG＝　 　；
（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．
①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；
②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；
③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．


9．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．
（1）求证：OD∥AC；
（2）求证：DC2＝DE•DA；
（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．





10．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；
（3）在（2）的条件下，若BC＝4，AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．






参考答案
1．解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠D+∠ABD＝90°，
∵FB是⊙O的切线，
∴∠FBD＝90°，
∴∠FBA+∠ABD＝90°，
∴∠FBA＝∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABF＝∠ABC；
（2）如图2，连接OC，
∵∠OHC＝∠HCA＝90°，
∴AC∥OH，
∴∠ACO＝∠COH，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，
即∠ABD＝∠ACO，
∴∠ABD＝∠COH，
∵∠H＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△HOC，
∴＝＝2，
∴CH＝DA；
（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，
∴＝2，
∵OH＝6，⊙O的半径为10，
∴AB＝2OH＝12，BD＝20，
∴AD＝＝16，
在△ABF与△ABE中，，
∴△ABF≌△ABE，
∴BF＝BE，AF＝AE，
∵∠FBD＝∠BAD＝90°，
∴AB2＝AF•AD，
∴AF＝＝9，
∴AE＝AF＝9，
∴DE＝7，BE＝＝15，
∵AD，BC交于E，
∴AE•DE＝BE•CE，
∴CE＝＝＝．

2．解：（1）如图1，
∵CD＝BC，
∴，
∴∠BDC＝∠DAC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴，
∴CD2＝CE•AC；

（2）设CE＝x，
∵AE＝2CE，
∴AE＝2x，
∴AC＝AE+CE＝3x，
由（1）知，CD2＝CE•AC，
∴CD2＝x×3x＝3x2，
∴CD＝x，
∴BC＝CD＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
根据勾股定理得，AB＝＝2x，
∴OA＝OB＝AB＝x，
∴OB＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∵，
∴OC⊥BE，
∴OF＝OB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠OFB，
∴OF∥AD，
∵OA＝OB，
∴AD＝2OE＝x，
∴＝＝1；

（3）由（2）知，△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵CH是⊙O的切线，
∴∠OCH＝90°，
∴∠CHO＝30°，
∴OH＝2OC，
∵OH＝OB+BH＝OC+BH，
∴OB＝BH，
∴OA＝OB＝BH，
∴S△ACH＝3S△BOC＝9，
∴S△BOC＝3，
∵S△BOC＝OB2＝×（x）2＝3，
∴x＝﹣2（舍）或x＝2，
∴EC＝2．

3．解：（1）如图1，连接MH，

∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．

∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，
∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），

∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为．
4．（1）证明：连接OC，如图，

∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC＝EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE（SSS），
∴∠OBE＝∠OCE＝90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，
在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，
∵OD2+BD2＝OB2，
∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，
∴OD＝2，OB＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴OE＝2OB＝8，
∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．
（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，
∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，
∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC
＝2××4×4﹣，
＝16﹣．
5．解：（1）∵P（x，y），
∴S＝xy＝x（﹣x+4）＝x2+4x．
（2）∵⊙O′为△OPP′的外接圆，
直线AB和00外切于P．
∴PO'⊥AB．
在△APO'和△AOB中，
∠PAO'＝∠OAB，
∠APO'＝∠AOB＝90°，
∴△APO'∽△AOB，
∴，
即PO'＝AP，
在Rt△OBO'和Rt△PBO'中，
OO'＝PO'，BO'＝BO，
∴Rt△OBO'≌Rt△PBO'（HL），
∴PB＝OB＝4．
∵AB＝＝＝4，
∴PO'＝AP＝（AB﹣PB）＝（4﹣4）＝2﹣2，
即R的值是2﹣2．
（3）如图．作∠BAC＝∠BAO，并作OD⊥AC于D．交AB于P，

∵∠BAC＝∠BAO，
∠AOB＝∠ODA＝90°，
∴△ABO∽△APD，
∴，
由y＝﹣x+4上得OA＝8，OB＝4，
∵∠BPO＝∠APD＝∠OBP，
∴OP＝OB＝4．
设PD＝a，则AD＝2a．
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴（a+4）2+4a2＝64，解得a﹣2.4（a＝﹣4舍去），
即PD＝2.4．
∴△OPP'周长C的最小值＝2OD＝2（OP+PD）＝2×（4+2.4）＝12.8．

6．解：（1）如图1，延长BO交⊙O于G，连接CG，

∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∴∠DBC+∠CBG＝90°，
∵BG为⊙O的直径，
∴∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠G＝90°，
∴∠DBC＝∠G，
∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，
∴∠DAB＝∠G，
∴∠DAB＝∠DBC；
（2）如图2，在MB上截取一点H，使AM＝MH，连接DH，

∴DM垂直平分AH，
∴DH＝AD，
∴∠DHA＝∠DAH，
∵BM＝AM+AD，BM＝MH+BH，
∴AD＝BH，
∴DH＝BH，
∴∠HDB＝∠HBD，
∴∠DHA＝∠HDB+∠HBD＝2∠HBD，
由（1）知∠DAB＝∠DBC，
∴∠DHA＝∠DAB＝∠DBC，
∴∠DBC＝2∠HBD，
∵∠DBC＝∠HBD+∠ABC，
∴∠HBD＝∠ABC，∠DBC＝2∠ABC，
∴∠DAB＝2∠ABC，
∵∠DAB＝∠ABC+∠C，
∴∠ABC＝∠C，
∴AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∵点O也在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BN＝CN；
（3）如图3，延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，

∵∠DCF+∠CDB＝90°，
∴∠DMC＝90°，
∵∠OBD＝90°，
∴∠DMC＝∠OBD，
∴CF∥OB，
∴∠BGE＝∠ECF，∠CFN＝∠BON，
∴tan∠BGE＝tan∠ECF＝2，
由（2）知OA垂直平分BC，
∴∠CNF＝∠BNO＝90°，BN＝CN，
∴△CFN≌△BON（AAS），
∴CF＝BO，ON＝FN，设CF＝BO＝r，ON＝FN＝a，则OE＝r，
∵，
∴OQ＝2a，
∵CF∥OB，
∴△QGO∽△QCF，
∴，
即，
∴OG＝r，
过点O作OE′⊥BG，交PE于E′，
∴OE′＝OG•tan∠BGE＝r＝OE，
∴点E′与点E重合，
∴∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝90°，
∵PB和PE是圆O的切线，
∴∠OBP＝∠OEP＝∠BOE＝90°，OB＝OE＝r，
∴四边形OBPE为正方形，
∴∠BOE＝90°，PE＝OB＝r，
∴∠BCE＝∠BOE═45°，
∴△NQC为等腰直角三角形，
∴NC＝NQ＝3a，
∴BC＝2NC＝6a，
在Rt△CFN中，CF＝＝a，
∵PQ⊥OQ，
∴PQ∥BC，
∴∠PQE＝∠BCG，
∵PE∥BG，
∴∠PEQ＝∠BGC，
∴△PQE∽△BCG，
∴，
即，
解得：PQ＝4a，
∵PQ+OQ＝6，
∴4a+2a＝6，
解得：a＝
∴CF═×＝10．
7．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°；
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线；

（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠ABD，
∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，
∴FD＝FG；

②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．

∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE＝BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD＝DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．
∴AE＝CH．
∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即5﹣AE＝3+AE，
∴AE＝1．
8．解：（1）连接OG，如图1，
∵正方形ABCD中，AB＝10，
∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，
∴DG＝，
∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，
故答案为：6；

（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO′交AD于点Q，则∠QHC＝90°，

根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．
∵点O′是EF′的中点，点Q是DF′的中点，
∵DE＝8，
∴，
∴O'H＝6，
∵CE＝2，DO＝3，
∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，
∴MH＝1，
即点M到BC的最短距离为1；
②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，

由题意得，的长为＝，
∴∠PO'R＝60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，
∴，
∵O'R＝PO'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴，
∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；
③当半圆O'与正方形ABCD的边BC相切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，

∴O′G＝5﹣2＝3，
∴CN＝GE＝，
∴，
NE＝，
∵，
∴，
∴NH＝，
∴tan∠END＝；
当半圆O'与正方形ABCD的边AB相切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，

∵AB∥CD，
∴EF′⊥CD，
∴tan∠END＝，
综上，tan∠END＝．
9．解：（1）因为点D是弧BC的中点，
所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，
而∠BOD＝2∠BAD，
所以∠CAB＝∠BOD，
所以DO∥AC；
（2）∵D是的中点，
∴∠CAD＝∠DCB，
∴△DCE∽△DAC，
∴CD2＝DE•DA；
（3）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝.＝8，
∵OD∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴，
即＝，
∴BF＝4．
即BF的长为4．
10．（1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠ACO+∠B＝90°，
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：连接BE．
∵BC＝EC，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBE，
∵四边形CAEB内接于圆，
∴∠CBE+∠CAE＝180°，
又∵∠CAD+∠CAB＝180°，
∴∠CAD＝∠CAE，
又∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠AEC，
∴∠ACD＝∠AEC，
∴△ACD∽△AEC，
∴．
∴AC2＝AE•AD；

（3）解：设AD＝5k，AE＝9k，则AC＝3k，
∵△ACD∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝，
∵∠D＝∠D，∠ACD＝∠CBD，
∴△DCA∽△DBC，
∴CD2＝DA•DB，
∵DB＝，
∴AB＝﹣5k，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（3k）2+（4）2＝（）2，
整理得：81k4+684k2﹣320＝0，
∴（9k2+80）（9k2﹣4）＝0，
∴k2＝，
∵k＞0，
∴k＝，
∴AB＝10，
∴⊙O的半径为5．