人教版2020年九年级上册第一次月考数学模拟试卷 解析版

人教版2020年九年级上册第一次月考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在下列方程中，一元二次方程是（　　）
A．x2﹣2xy+y2＝0 B．x（x+3）＝x2﹣1
C．x2﹣2x＝3 D．x+＝0
2．关于x的方程3x2﹣2x﹣5＝0的二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣2 B．3，2 C．3，5 D．5，2
3．抛物线y＝﹣x2+2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣，2） B．（，2） C．（0，2） D．（0，0）
4．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．抛物线y＝﹣x2+kx+1与x轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
6．已知抛物线y＝3（x﹣1）2+1上有三点A（1.5，y1），B（2，y2），C（﹣5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A．B．C．D．
8．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（　　）
A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11
9．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（　　）

A．1 B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的有（　　）

A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝　 　．
12．一元二次方程（x+1）（3x﹣2）＝10的一般形式是　 　．
13．抛物线y＝x2+6的对称轴是　 　．
14．方程（x+2）（x﹣3）＝x+2的解是　 　．
15．二次函数y＝2x2+4x﹣3，把图象向左平移2个单位，向下平移1个单位后的解析式是：　 　．
16．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得　 　．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，则AB边上的中线长　 　．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝5 （2）2x2﹣4x+1＝0（用配方法）






19．（6分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围．
（2）若﹣（x1+x2）＝x1x2，求k的值．



20．（6分）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．



21．（8分）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病．
（1）每轮平均1个人会感染几人？
（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？



22．（8分）如图，已知直线AB经过x轴上的点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知点B坐标为（1，1）
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）如果D为抛物线上的一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求点D坐标．



23．（8分）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝﹣2x2+4x+2与C2：y2＝﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）如图点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，当AQ+OQ取最大值时，求点A的坐标．




24．（10分）如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为8米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式．
（2）如果要围成面积为24m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成面积比24m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．







25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．


















参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、方程含有两个未知数，故不是；
B、方程的二次项系数为0，故不是；
C、符合一元二次方程的定义；
D、不是整式方程．
故选：C．
2．解：一元二次方程3x2﹣2x﹣5＝0的二次项系数和一次项系数分别是：3，﹣2
故选：A．
3．解：∵y＝﹣x2+2，
∴抛物线顶点坐标为（0，2），
故选：C．
4．解：把x＝1代入x2﹣x﹣m＝0得1﹣1﹣m＝0，
解得m＝0．
故选：B．
5．解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝k2﹣4×（﹣1）×1＝k2+4＞0，
故抛物线y＝﹣x2+kx+1与x轴交点的个数为2，
故选：C．
6．解：抛物线y＝3（x﹣1）2+1的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），其大致图象如图所示，
点A（1.5，y1），B（2，y2）在对称轴x＝1的右侧，
由增减性可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此有y2＞y1，
由对称性，增减性可知，y3＞y2，
因此有y3＞y2＞y1，
故选：D．

7．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
8．解：根据题意得：a与b为方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
则原式＝＝＝7．
故选：A．
9．解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣（x﹣2）2+4﹣k，
∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∵△ABC的面积＝AB•OC＝AB•k，△ABD的面积＝AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k＝（4﹣k），
解得：k＝．
故选：D．
10．解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
④∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，
解得：a＝2，
故答案为：2．
12．解：∵一元二次方程（x+1）（3x﹣2）＝10可化为3x2﹣2x+3x﹣2＝10，
∴化为一元二次方程的一般形式为3x2+x﹣12＝0．
13．解：∵抛物线y＝x2+6，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝0，
故答案为：直线x＝0．
14．解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）＝0，
提取公因式得，（x+2）（x﹣4）＝0，
故x+2＝0或x﹣4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．
15．解：二次函数y＝2x2+4x﹣3＝2（x+1）2﹣5，其的顶点坐标为（﹣1，﹣5），而点（﹣1，﹣5）向左平移2个单位，向下平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣3，﹣6），所以平移后的抛物线解析式为y＝2（x+3）2﹣6，即y＝2x2+12x+12．
故答案为y＝2x2+12x+12．
16．解：由题意列方程得，
x（x﹣1）＝45．
故答案为：x（x﹣1）＝45．
17．解：∵a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7＝0的两根，
∴根与系数的关系可知：a+b＝7，ab＝c+7；
由直角三角形的三边关系可知：a2+b2＝c2，则（a+b）2﹣2ab＝c2，
即49﹣2（c+7）＝c2，
解得，c＝5或c＝﹣7（舍去），
再根据直角三角形斜边中线定理得：AB边上的中线长为．
故答案是：．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：（1）原方程整理可得x2+2x﹣8＝0，
则（x+4）（x﹣2）＝0，
∴x+4＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝﹣4或x＝2；
（2）∵，
∴，
∴，
则或，
∴原方程的解为
19．解：（1）根据题意得△＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）根据题意得x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2，
∵﹣（x1+x2）＝x1x2，
∴﹣2（k﹣1）＝k2，
整理的k2+2k﹣2＝0，解得k1＝﹣1，k2＝﹣﹣1，
∵k≤，
∴k＝﹣﹣1．
20．解：（1）设这个抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c；
由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；
解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝﹣4；
∴所求抛物线的解析式为y＝2x2+2x﹣4．
（2）y＝2x2+2x﹣4＝2（x2+x﹣2）＝2（x+）2﹣，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．
21．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）三轮感染后，患病的人数为81+81×8＝729（人）．
∵729＞700，
∴患病的人数会超过700人．
答：患病的人数会超过700人．
22．解：（1）设直线AB所表示的函数解析式为y＝kx+b，
∵它过点A（2，0）和点B（1，1），
∴，
解得．
∴直线AB所表示的函数解析式为y＝﹣x+2，
∵抛物线y＝ax2过点B（1，1），
∴a×12＝1，
解得a＝1，
∴抛物线所表示的函数解析式为y＝x2；
（2）解方程组，
得，，
∴C点坐标为（﹣2，4），
∵B点坐标为（1，1），A点坐标为（2，0），
∴OA＝2，S△OAC＝×2×4＝4，
S△OAB＝×2×1＝1，
∴S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB＝4﹣1＝3，
设D点的纵坐标为yD，
则S△OAD＝×OA×|yD|＝×2×|yD|＝3，
∴yD＝3
y＝3代入y＝x2，
得x＝±，
∴D点坐标为（，3）或（﹣，3）．
23．解：（1）∵y1＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为（1，4）．
∵抛物线C1与C2顶点相同，
∴＝1，﹣1+m+n＝4．
解得：m＝2，n＝3．
∴抛物线C2的解析式为y2＝﹣x2+2x+3．
（2）设点A的坐标为（a，﹣a2+2a+3）．
∵AQ＝﹣a2+2a+3，OQ＝a，
∴AQ+OQ＝﹣a2+2a+3+a＝﹣a2+3a+3＝﹣（a﹣）2+．
∴当a＝时，AQ+OQ有最大值，最大值为．
24．解：（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（18﹣3x）米，
这时面积S＝x（18﹣3x）＝﹣3x2+18x；
（2）由题意得：﹣3x2+18x＝24，解得x1＝4，x2＝2，
∵0＜18﹣3x≤8，解得≤x＜6，
∴x＝2不合题意，舍去，
即花圃的宽为4米；
（3）能，理由：
S＝﹣3x2+18x＝﹣3（x2﹣6x）＝﹣3（x﹣3）2+27（≤x＜6），
∴当x＝时，S有最大值为；
故能围成面积比24米2更大的花圃．
围法：18﹣3×＝8，
即花圃的长为8米、宽为米，这时有最大面积平方米．
25．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）由二次函数y＝x2﹣x﹣4可知对称轴x＝3，
∴D（3，0），
∵C（8，0），
∴CD＝5，
由二次函数y＝x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设E（m，m﹣4），
当DC＝CE时，EC2＝（m﹣8）2+（m﹣4）2＝CD2，
即（m﹣8）2+（m﹣4）2＝52，解得m1＝8﹣2，m2＝8+2（舍去），
∴E（8﹣2，﹣）；
当DC＝DE时，ED2＝（m﹣3）2+（m﹣4）2＝CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣4）2＝52，解得m3＝0，m4＝8（舍去），
∴E（0，﹣4）；
当EC＝DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2＝（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5＝5.5，
∴E（，﹣）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，
∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4，
∵△PBD的面积S＝S梯形OBPF﹣S△BOD﹣S△PFD＝m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4
＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+
∴当m＝时，△PBD的最大面积为，
∴点P的坐标为（，﹣）．