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    2019届高三理科数学二轮复习配套教案:第一篇专题二第1讲 函数图象与性质、函数与方程

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    2019届高三理科数学二轮复习配套教案:第一篇专题二第1讲 函数图象与性质、函数与方程

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    1讲 函数图象与性质、函数与方程(对应学生用书第9)                      1.(2018·全国,3)函数f(x)=的图象大致为( B )解析:因为y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.x=1,f(1)==e->0,排除D选项.e>2,所以<,所以e->1,排除C选项.故选B.2.(2018·全国,7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( D )解析:法一 f'(x)=-4x3+2x,f'(x)>0的解集为-∞,-0,,f(x)单调递增区间为-∞,-,0,;f'(x)<0的解集为-,0,+∞,f(x)单调递减区间为-,0,,+∞.故选D.法二 x=1,y=2,所以排除A,B选项.x=0,y=2,而当x=,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.3.(2018·全国,11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).f(1)=2,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于( C )(A)-50 (B)0 (C)2 (D)50解析:因为f(x)是奇函数,f(1-x)=f(1+x),f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.f(x)为奇函数得f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.f(1)=2,所以f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.4.(2018·全国,9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.g(x)存在2个零点,a的取值范围是( C )(A)[-1,0) (B)[0,+∞)(C)[-1,+∞) (D)[1,+∞)解析:h(x)=-x-a,g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图,如图所示.g(x)存在2个零点,y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1),2个交点,此时1=-0-a,a=-1.y=-x-ay=-x+1上方,a<-1,仅有1个交点,不符合题意.y=-x-ay=-x+1下方,a>-1,2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.5.(2017·全国,11)x,y,z为正数,2x=3y=5z,( D )(A)2x<3y<5z (B)5z<2x<3y(C)3y<5z<2x (D)3y<2x<5z解析:2x=3y=5z=k(k>1),两边分别取对数得xln 2=yln 3=zln 5=ln k,所以2xln 2=2ln k,所以2x=.同理3y=,5z=,所以==>1,所以2x>3y,==<1,所以2x<5z,所以5z>2x>3y.故选D.6.(2016·全国,12)已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),(xi+yi)等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1, 所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称.所以xi=0,yi=2×=m,所以(xi+yi)=m.故选B.7.(2017·全国,15)设函数f(x)=则满足f(x)+fx->1x的取值范围是    . 解析:x≤0,f(x)+fx-=x+1+x-+1>1,x>-,所以-<x≤0.0<x≤,f(x)+fx-=2x+x-+1>1,2x+x>,显然成立,所以0<x≤.x>,f(x)+fx-=2x+>1,也成立,所以x>.①②③可得x>-.答案:-,+∞1.考查角度全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断和应用,考查函数与方程.2.题型及难易度选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.(对应学生用书第9~11)                      函数的性质【例1(1)(2018·天津滨河新区八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有<0,a=,b=,c=,(  )(A)a<c<b (B)a<b<c(C)c<b<a (D)b<c<a(2)(2018·湖南省两市九月调研)定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),x(-3,0],f(x)=-x-1,x(0,2],f(x)=log2x,f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)的值等于(  )(A)403 (B)405 (C)806 (D)809(3)(2018·湖南省永州市高三一模)定义max{a,b,c}a,b,c中的最大值,M=max{2x,2x-3,6-x},M的最小值是(  )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解析:(1)0<x1<x2,x2f(x1)-x1f(x2)>0>,所以函数g(x)=(0,+∞)上单调递减,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)是定义在(-∞,0)(0,+∞)上的偶函数,因此a==g(4.10.2)<g(1),b==g(0.42.1)>g(0.42)>g(0.5),c==g(log0.24.1)=g(log54.1)(g(1),g(0.5)),a<c<b,A.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x),即函数的周期为5.x(0,2],f(x)=log2x,所以f(1)=log21=0,f(2)=log22=1.x(-3,0],f(x)=-x-1,所以f(3)=f(-2)=1,f(4)=f(-1)=0,f(5)=f(0)=-1.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)=403×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))+f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=403×1+f(1)+f(2)+f(3)=403+0+1+1=405.故选B.(3)画出函数M=max{2x,2x-3,6-x}的图象,如图,由图可知,函数MA(2,4) 处取得最小值4,M的最小值为4,故选C. 函数的性质主要是单调性、最值、奇偶性和周期性.(1)注意函数单调性的定义及其等价形式,如函数在区间D单调递增:x1,x2D,(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0,>0.(2)注意函数周期性的几种呈现形式,如下均是以2为周期的函数的呈现形式f(x-2)=f(x),f(x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x),f(x+1)=.(3)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a),f(-a)的转化,注意其图象的对称性的应用.热点训练1:(1)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)R上是增函数,g(x)=xf(x).a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),a,b,c的大小关系为(  )(A)a<b<c (B)c<b<a(C)b<a<c (D)b<c<a(2)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+4)=f(x-2).若当x[-3,0],f(x)=6-x,f(919)=    . 解析:(1)依题意a=g(-log25.1)=(-log25.1)·f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).因为f(x)R上是增函数,可设0<x1<x2,f(x1)<f(x2).从而x1f(x1)<x2f(x2),g(x1)<g(x2).所以g(x)(0,+∞)上亦为增函数.log25.1>0,20.8>0,3>0,20.8<21=log24<log25.1<log28=3,所以3>log25.1>20.8>0,所以c>a>b.故选C.(2)因为f(x+4)=f(x-2),所以f((x+2)+4)=f((x+2)-2),f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,f(919)=6.答案:(1)C (2)6函数的图象【例2(1)(2018·陕西省西工大八模)函数y=ex(2x-1)的示意图是(  )(2)(2018·泸州模拟)已知偶函数f(x)=f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-在区间[-2 018,2 018]的零点个数为(  )(A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:(1)y'=2ex+ex(2x-1)=ex(2x+1),y'>0,得函数y=ex(2x-1)-,+∞上递增,y'<0,得函数y=ex(2x-1)-∞,-上递减,又因为x=0,y=-1,所以排除B,C,D.故选A.(2)4<x<8,f(x)=f(8-x),故而f(x)(0,8)上的函数图象关于直线x=4对称;因为f(x-8)=f(x),所以f(x)的周期为T=8,作出y=f(x)y=(0,8)上的函数图象如图所示,由图象可知f(x)在一个周期内与y=4个交点,所以F(x)[0,2 018]上有252×4+2=1 010个交点,f(x)y=是偶函数,所以F(x)[-2 018,2 018]的零点个数为1 010×2=2 020.故选A. 函数图象主要有两类问题.(1)函数图象的识别:基本方法是根据函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)以及特殊点的函数值,采用排除法找到符合要求的函数图象.(2)函数图象的应用:利用函数图象解决函数的零点个数的判断(见热点三),利用函数图象的对称性求解函数值之和或者自变量之和等,常见的结论是如果f(a-x)=f(a+x)对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;如果f(a-x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,以及上述两个结论的各种等价形式”.热点训练2:(1)(2018·淮北一模)函数f(x)=+ln |x|的图象大致为(  )(2)(2018·广西钦州第三次质检)设函数f(x)=2sin2πx与函数y=的图象在区间-,上交点的横坐标依次为x1,x2,…,xn,xi等于(  )(A)4 (B)2 (C)0 (D)6解析:(1)x<0,函数f(x)=+ln(-x),由函数y=,y=ln(-x)递减知函数f(x)=+ln(-x)递减,排除C,D;x>0,函数f(x)=+ln x,此时,f(1)=+ln 1=1,而选项A的最小值为2,故可排除A,只有B正确.故选B.(2)函数y==-y=2sin2πx的图象有公共的对称中心,0,从图象知它们在区间-,上有八个交点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为1,故所有的横坐标之和为4.故选A.函数与方程考向1 判断函数零点个数【例3(1)(2018·江西九校联考)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))-f(x)的零点的个数为(  )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(2)(2018·福建泉州5月质检)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是   . 解析:(1)u=f(x),对函数y=f(f(x))-f(x)求零点,f(u)-u=0,f(u)=u,所以解得u=eu=-2.u=e,f(x)=e前一式解得x=e,后一式解得有两个负解.u=-2,f(x)=-2,无解或有两解,总之,共有解1+2+2=5(),即函数有5个零点,故选D.(2)在同一个坐标系中画出函数f(x)=的图象和直线y=-x,如图所示.而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)=的图象和直线y=-x的交点的个数,从图中发现,一共有两个交点,所以其零点个数为2.答案:(1)D (2)2 (1)函数零点可以化为两个函数图象的交点问题解决,即通过把方程f(x)=0化为g(x)=h(x),f(x)零点的个数即为函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,这是解决函数零点问题的基本方法.(2)复合函数的零点问题常使用换元方法,把复合函数化为一个简单的函数,先研究这个简单函数的零点情况,再根据换元表达式研究原来的函数零点情况.考向2 根据零点个数确定参数范围【例4(1)(2018·安徽淮南二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=kx恰有两个不同的实根时,实数k的取值范围是(  )(A)0, (B)0,(C), (D),(2)(2018·福建莆田第二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=若函数F(x)=f(x)-m有六个零点,则实数m的取值范围是(  )(A)-, (B)-,00,(C)-,0 (D)-,0解析:(1)因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,所以y=f(x)y=kx有两个交点,k表示直线y=kx的斜率,x>1,y=f(x)=ln x,所以y'=;设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=,如图所示,结合图象,可得实数k的取值范围是,.故选C.(2)x≥0,画出函数的图象如图所示,0≤x<2,很容易画出图象,利用导数研究函数y=(x≥2)的图象的走向,从而确定出其在[2,3)上单调递减,[3,+∞)上单调递增,但是其一直落在x轴下方,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数f(x)的图象与直线y=my轴右侧有三个交点,观察图象可知m的取值范围是-,0,故选D. 根据函数零点个数确定参数取值集合的基本思想是数形结合,即把方程f(x)=0化为g(x)=f(x),通过函数y=g(x),y=h(x)的交点个数确定参数值的集合.把方程f(x)=0化为g(x)=h(x)的基本思想是(1)如果参数能够分离,且分离参数后,另一端的函数性质较易研究,则采用分离参数的方法.(2)如果参数不易分离,或者分离参数后另一端的函数性质较难研究,则尽可能把参数与x的一次式放在一起,这样含参数的函数图象为直线,利用直线与函数图象的交点确定参数范围.热点训练3:(1)(2018·江西省新余一中二模)[a]表示不大于实数a的最大整数,[1.68]=1,x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,[x1+x2]等于(  )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(2)(2018·昆明一模)已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是(  )(A)(-∞,2) (B)(-∞,2](C)(-∞,5) (D)(-∞,5](3)(2018·四川成都模拟一)已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数是(  )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4解析:(1)因为x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,所以x1,x2分别是g(x)=x+ex-4h(x)=x+ln(x-1)-4的零点,由于g(x)是单调递增函数,g(1)<0,g>0,所以1<x1<,h(x)在定义域内递增且h(3)<0,h>0,所以3<x2<,所以4<x1+x2<5,所以[x1+x2]=4,故选C. (2)函数f(x)=x≥1,方程由f(x)=2,可得ln x+1=2,解得x=e,函数有一个零点,x<1,函数只有一个零点,x2-4x+a=2,x<1时只有一个解.因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为x=2,x<1,函数是减函数,所以f(1)<2,可得-3+a<2,解得a<5.故选C.(3)f(x)=t,函数F(x)=f(f(x))-f(x)-1的零点个数问题f(t)-t-1=0的根的个数问题.y=f(t),y=t+1的图象如图,结合图象可得f(t)-t-1=0的根t1=0,t2=1,t3(1,2),方程f(x)=01,f(x)=13,f(x)=t33.综上,函数F(x)的零点个数是7.故选A.                      【例1(1)(2018·天津河西区三模)f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0,f(x)=若对任意的x[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是(  )(A)-1 (B)- (C)- (D)(2)(2018·天津质量调查)已知函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,且当x≤0,f(x)=-x3+ln(1-x),a=f(log36),b=f(log48),c=f(log510),a,b,c的大小关系为(  )(A)a>b>c (B)c>b>a(C)b>c>a (D)b>a>c解析:(1)易知函数f(x)[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数f(x)(-∞,0]上单调递增,则由f(1-x)≤f(x+m),|1-x|≥|x+m|,(1-x)2≥(x+m)2,g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0x[m,m+1]上恒成立,解得-1≤m≤-,m的最大值为-.(2)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x),f(x)关于直线x=0y轴对称,则函数f(x)是偶函数,x≤0,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数,所以当x≥0f(x)为增函数,因为log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,log32=,log42=,log52=,0<log23<log24<log25,所以>>>0,log32>log42>log52>0,1+log32>1+log42>1+log52>1,log36>log48>log510>1,因为当x≥0f(x)为增函数,所以f(log36)>f(log48)>f(log510),a>b>c.故选A.【例2(1)(2018·洛阳一模)函数y=f(x)y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是(  )(2)(2018·张掖一模)f(x)=的部分图象大致是(  )解析:(1)因为y=f(x)有两个零点,并且g(x)没有零点;所以函数y=f(x)·g(x)也有两个零点M,N,不妨设M<N,又因为x=0,函数值不存在,所以y=f(x)·g(x)x=0时的函数值也不存在,x(-∞,M),y<0;x(M,0),y>0;x(0,N),y<0;x(N,+∞),y>0,只有A中的图象符合要求,故选A.(2)因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A;因为x(0,1),x>sin x,x2+x-2<0,f(x)<0,故排除B;x→+∞,f(x)→0,故排除C.故选D.【例3(1)(2018·福建百校临考冲刺)设函数f(x)=若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得====7,a的取值范围为(  )(A)(6,12) (B)[6,12] (C)(6,18) (D)[6,18](2)(2018·福建百校联考冲刺)已知函数f(x)=则函数f[f(x)]的零点个数为(  )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9(3)(2018·湖南益阳4月调研)已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数.若函数f(x)有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )(A)1,1+(-2,0) (B)1,1+(C)-2,1+ (D)(-2,1)解析:(1)存在互不相等的4个实数x1,x2,x3,x4,使得====7成立,等价于方程=7有四个不同的实根,易证:x≤1,方程|12x-4|=7x有两个不等实根,分别为,,则当x>1,方程x(x-2)2+a=7x也有两个不等实根,g(x)=x(x-2)2+a-7x=x3-4x2-3x+a,g'(x)=3x2-8x-3,g'(x)=0,解得x1=-,x2=3,可知函数g(x)在区间(1,3)上单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,若使函数g(x)有两个零点,必有g(1)=-6+a>0,g(3)=-18+a<0,解得6<a<18,故选C.(2)画出函数f(x)的图象,如图所示,f(x)=t,因为f[f(x)]=0,所以f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t1=2,t2=3,-1<t3<0,1<t4<2,由图象可知,t1=2,f(x)=2有两个根,f[f(x)]=02个零点;由图象可知,t2=3,f(x)=3有一个根,f[f(x)]=01个零点;由图象可知,-1<t3<0,f(x)=t有三个根,f[f(x)]=03个零点;由图象可知,1<t4<2,f(x)=t有两个根,f[f(x)]=02个零点;综上所述,f[f(x)]=08个零点.所以选C.(3)a=1,f(x)=f(x)=0解得x=0x=-1-,函数f(x)只有两个零点,舍去;a<1,x≥0,f(x)=(a-1)ex-x,所以f'(x)=(a-1)ex-1<0,所以f(x)≤f(0)=a-1<0;x<0,f(x)=2x2+4x-a=0至多两个零点,即函数f(x)至多两个零点,舍去;a>1,x<0,f(x)=2x2+4x-a=0只有一个零点, x≥0,f(x)=(a-1)ex-x=0a-1=,g(x)=,因为g'(x)==0,所以x=1,因此当0≤x≤1,g'(x)≥0,g(x)[g(0),g(1)]=0,,x>1,g'(x)<0,g(x)0,,因为要使函数f(x)有三个零点,需使函数g(x)有两个零点,因此0<a-1<,所以1<a<1+.综上,a的取值范围为1,1+.  

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