课时作业(四十九) 椭圆 练习

课时作业(四十九)　椭圆

一、选择题

1．已知三点P(5,2)，F1(－6,0)，F2(6,0)，那么以F1，F2为焦点且经过点P的椭圆的短轴长为(　　)

A．3　　　　　　　　　B．6

C．9                  D．12

解析：因为点P(5,2)在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝，|PF1|＝5，所以2a＝6，即a＝3，c＝6，b2＝9，b＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.

答案：B

2．已知曲线＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)∪(3，＋∞)   B．(1,3)

C．(1，＋∞)             D．(－∞，3)

解析：因为曲线＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，所以解得1＜k＜3.

答案：B

3．(2015·广东卷)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于(　　)

A．2  B．3

C．4  D．9

解析：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m＞0，所以m＝3.

答案：B

4．已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1或＋＝1

解析：∵a＝4，e＝，∴c＝3，

∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.

∴椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

答案：B

5．(2017·江西高安模拟，5)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)

A.    B.

C.  D.－1

解析：设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称

点A(m，n)，则

∴m＝，n＝c，

代入椭圆方程可得＋＝1，把b2＝a2－c2代入，

化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，又0＜e＜1，∴e＝－1，故选D.

答案：D

6．(2017·宜昌调研)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，·＝||2，若椭圆的离心率为，则直线OA的方程是(　　)

A．y＝x   B．y＝x

C．y＝x  D．y＝x

解析：设A(xA，yA)，又F2(c,0)，所以·＝(xA，yA)·(c,0)＝cxA＝c2，因为c＞0，所以xA＝c，代入椭圆方程得＋＝1，解得yA＝，故kOA＝＝＝，又＝，故c＝a，故kOA＝＝，故直线OA的方程是y＝x，故选B.

答案：B

二、填空题

7．(2017·苏州一模)若椭圆的两焦点与短轴的两端点在单位圆上，则椭圆的内接正方形的边长为__________．

解析：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意得b＝c＝1，a＝，则椭圆的方程为＋y2＝1，设椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为(x0，x0)，代入椭圆方程，得x0＝，所以正方形边长为.

答案：

8．(2016·江苏，10,5分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

解析：由直线y＝与椭圆的方程联立表示出点B，C的坐标，根据·＝0，建立关于a，b，c的方程，结合b2＝a2－c2，进而求得椭圆的离心率．

将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，

所以x＝±a，故B，C.

又因为F(c,0)，所以＝，

＝.

因为∠BFC＝90°，所以·＝0，

所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．

答案：

9．设F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为__________．

解析：不妨设点P(x1，y1)为第一象限内的一点，由题意可得a2＝9，b2＝5，则有c2＝a2－b2＝9－5＝4，因为线段PF1的中点在y轴上，故x1＝2，即P(2，y1)，代入椭圆＋＝1得＋＝1，解得y1＝，|PF1|＝＝，|PF2|＝，故＝.

答案：

三、解答题

10．已知椭圆的中心在原点且过点P(3,2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程．

解析：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解此方程组，得

此时所求的椭圆方程是＋＝1.

(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则解得

此时所求的椭圆方程为＋＝1.

故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

11．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．

解析：(1)依题意得，|F1F2|＝2，又2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，

∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，

∴a＝2，c＝1，b2＝3.

∵焦点在x轴上，

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

(2)设P点坐标为(x，y)，∵∠F2F1P＝120°，

∴PF1所在直线的方程为y＝(x＋1)·tan120°，

即y＝－(x＋1)．

解方程组并注意到x＜0，y＞0，

可得∴S△PF1F2＝|F1F2|·＝.

12．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1,0)．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

解析：(1)依题意可得解得a＝，b＝1，

所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；

②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

联立得方程组

消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，

所以x1＋x2＝，x1·x2＝.

所以y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.

因为OM⊥ON，所以·＝0，

所以x1·x2＋y1·y2＝＝0，所以k＝±，

即直线l的方程为y＝±(x－1)．