初二数学上册秋季班培优讲义 第10讲 全等复习

  全等复习                   模块一  基本辅助线复习    模块二  全等综合   
模块一：基本辅助线复习1．角平分线性质与判定2．垂直平分线的性质3．角平分线模型模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形．模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III：角平分线的中心思想关于角平分线对称，掌握常见辅助线的三种做法．4．截长补短截长补短两种方法：截长法和补短法．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而在全等三角形中是处理两条线段关系的重要手段．适用：证明线段的和、差、倍、分等题目．若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短（截长或补短）”．模块二：全等综合
 （1）如图1-1，在中，AD平分，于E，，，，则AC长是________． （2）如图1-2，在中，，、的平分线交于点，于．若，，，则________． （3）如图1-3，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．                           图1-1                     图1-2                    图1-3 （4）如图1-4，CD为斜边上的高，的平分线分别交CD、BC于点E、F．且，垂足为G，，，则________．      （5）如图1-5，在四边形ABCD中AE、AF分别是BC，CD的垂直平分线，，，则的度数为________．  图1-4                                    图1-5 【解析】（1）4；（2）1；（3）5cm；（4）4；（5）．
 （1）如图2-1，已知，，，AE平分，求证：． （2）如图2-2，在中，BC的垂直平分线DF交的外角平分线AD于点D，于点E，且．求证：．               图2-1                                      图2-2【解析】（1）思路：延长AB、CD交于点F，，，∴；（2）过点D作交AC于点G，连接BD，CD．∵DF垂直平分BC，∴，∵AD平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【教师备课提示】见到中垂线，大多可将中垂线上任意一点与线段两端点相连，形成基本构图，并熟练运用角分线性质及模型．
 （1）已知：如图3-1，中，，延长BC到点D，使，延长CA到点E，使；连接AD，BE．求证：． （2）如图3-2，已知中，，，，的平分线交BC，CA于P，Q．求证：．　　  　 图3-1                             图3-2 【解析】（1）证明：如图，取AE的中点F，连接BF，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中∴，∴．（2）延长AB到点D，使，连接PD，则∵AP平分，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴．
 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，试证明：①；②；③；④AM是的中线．  【解析】正方形ABDE和ACFG，，，，，即，在和中，，，．设BG、CE相交于点N，，，，．过点E作的延长线于P，过点G作于Q，，，，，在和中，，．，同理可得，，，在和中，，，是的中线．
 已知四边形ABCD，于A，于C，，，，现将绕B点旋转，它的两边分别交直线AD，CD于E，F．（1）当绕B点旋转到时（如图5-1），求证：；（2）当绕B点旋转到时；①在图5-2情况下，请探究AE、CF、EF之间满足怎样的数量关系，并说明理由；②在图5-3情况下，探究AE、CF、EF之间又满足怎样的数量关系，直接写出结论．　　　　      图5-1                    图5-2                      图5-3 【解析】（1），，，，在和中，，，；，，．（2）①延长DC至点K，使，连接BK，在和中，,则(SAS)，，，，，，，，在和中，,(SAS)，，，即．②AE、CF、EF的关系是．
 在和均为等腰直角三角形，，，，按图6-1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF，则可以得到结论且．（1）将图6-1中绕A点顺时针旋转，再连接CE，取CE的中点F（如图6-2），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（2）将图6-1中绕A点转动任意角度（旋转角在到之间），再连接CE，取CE的中点F（如图6-3），问题目中的结论是否仍然成立？证明你的结论．            图6-1                    图6-2                     图6-3 【解析】（1）仍然成立．证明：如图2，延长DF交BC于点G，∵，∴DE//BC，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，又∵∴且．（2）仍然成立．证明：如图3，延长BF至点G，使，联结DB、DG，GE，∵，，∴，∴，，∴EG//CB，∵，，∴，，∵，，∴， ∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∴且．【教师备课提示】这道题主要考查倍长中线的旋转型全等．
  （1）如图1-1，在中，AD平分交BC于点D，且，若，，则BC的长为______． （2）如图1-2，在中，，，M是BC的中点，AD平分，且MF//AD，则FC的长等于________.  （3）如图1-3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，以下几个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有_____________（只填序号）．          图1-1                  图1-2                      图1-3 【解析】（1）6；     （2），过点B作AD的平行线，交CA的延长线于点E，可证出，则．（3）①③④．
 在中，E为BC边的中点，于E点，交AC于D点，求证：．                     【解析】解法一：连结BD，易得，．而，于是，故．解法二：连接，易得，则．如图，在中，的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作于N，于点M，求证：．           【解析】证明：连接PB，PC，∵AP是的平分线，，，∴，，∵P在BC的垂直平分线上，∴，在和中，∴，∴．
 如图，在中，，分别以BC、CD和BD为边在外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，试证明：（1）①；②；③；（2）在（1）的条件下，求证：． 【解析】（1）和都是等边三角形，，，，，在和中，，，，同理，，， ，，，，，同理，即，（2）证明：在PE上截取，连接CM，由（1）可知，，，设CD与BE交于点G，在和中，，，，同理，是等边三角形，，，，，，，，即．
 已知两个全等的等腰直角、，其中，E为AB中点，可绕顶点E旋转，DE、EF分别交线段CA，CB（它们所在直线）于M、N．（1）如图5-l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：；（2）如图5-2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）如图5-3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．          图5-1                  图5-2                        图5-3 【解析】（1）∵，E为AB中点，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴； （2），理由如下：在AM截取AH，使得，连接EH，由（1）知，，∵在与中：，∴，∴，，∴，∴，∵在与中：，∴，∴，∴；即；（3）猜得：，理由如下：在CB上截取，连接EH，在和中，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴．