2019届二轮复习　求数列的通项作业（全国通用） 练习

第2节　求数列的通项一、选择题1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(　A　)(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:a8=S8-S7=64-49=15,选A.2.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于(　C　)(A)-6(1-3-10) (B)(1-310)(C)3(1-3-10) (D)3(1+3-10)3.已知数列{an}中,a1=1,且an+1=(n∈N*),则a10等于(　D　)(A)28   (B)33  (C)   (D)4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|等于(　A　)(A)66 (B)65 (C)61 (D)565.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于(　D　)(A)24 (B)32 (C)48 (D)64解析:由anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列,而a1=1,a2=2,所以a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.6.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=anan+1,则a2+a4+a6+…+a2n等于(　B　)(A) (B) (C) (D)解析:当n=1时,3S1=a1a2,即3a1=a1a2,所以a2=3,当n≥2时,由3Sn=anan+1,可得3Sn-1=an-1an,两式相减得3an=anan+1-an-1an,3an=an(an+1-an-1).因为an≠0,所以an+1-an-1=3,所以{a2n}为一个以3为首项,3为公差的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=,选B.二、填空题7.设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,2an=-SnSn-1(n≥2),则Sn=　　　　. 答案:8.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{}前10项的和为　　　　. 解析:因为a1=1,an+1-an=n+1,所以a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),将以上n-1个式子相加得an-a1=2+3+…+n=,即an=,令bn=,故bn==2(-),故S10=b1+b2+…+b10=2(1-+-+…+-)=.答案:9.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 解析:a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3,由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)相减可得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2),又a2=3a1,所以{an}为等比数列,S5==121.答案:1　12110.已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和Sn=n2·an(n∈N*),则a9=　　　　. 解析:当n≥2时,Sn=n2·an,Sn-1=(n-1)2an-1,得an=n2·an-(n-1)2an-1,(n2-1)an=(n-1)2an-1,即=,因为··…··=··…··,即=,an=,所以a9=.答案:11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+2n,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 解析:由题=+·()n,由-=·()n-1,-=·()n-2,…-=·()1,得-=,即an=22n-1-2n-1.答案:22n-1-2n-112.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=(-1)nan-,n∈N*,则(1)a3=　　　　; (2)S1+S2+…+S100=　　　　　　　　. 解析:(1)当n=1时,S1=(-1)a1-,得a1=-.当n≥2时,Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)-.当n为偶数时,Sn-1=-,当n为奇数时,Sn=Sn-1-,从而S1=-,S3=-,又由S3=-a3-得a3=-.(2)由(1)得S1+S3+S5+…+S99=----…-,S101=-,又S2+S4+S6+…+S100=2S3++2S5++2S7++…+2S101+=0,故S1+S2+…+S100=(-1).答案:(1)-　(2)(-1)三、解答题13.数列{an}中,a1=,an+1=,求数列{an}的通项公式.解:由an+1=可得,(n+1)an+1=,两边取倒数得,==1+,两边同时加上1,得+1=2+=2(+1).所以数列{+1}是以+1=3为首项,以2为公比的等比数列.所以+1=3×2n-1,化简得an=.14.若数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在y=-x的图象上(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若C1=0,且对任意正整数n都有Cn+1-Cn=loan.求证:对任意正整数k≥2,总有≤+++…+<.(1)解:因为Sn=-an,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,所以an=an-1,又因为S1=-a1,所以a1=,所以an=·()n-1=()2n+1.(2)证明:由Cn+1-Cn=loan=2n+1得当n≥2时,Cn=C1+(C2-C1)+(C3-C2)+…+(Cn-Cn-1)=0+3+5+…+(2n-1)=n2-1=(n+1)(n-1),所以++…+=++…+=×[(1-)+(-)+…+(-)]=[(1+)-(+)]=-(+)<.又因为++…+≥=.所以原式得证.15.在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)若存在n∈N*,使得an≤(n+1)λ成立,求实数λ的最小值.解:(1)当n≥2时,由题可得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an.①a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,②②-①得nan=an+1-an,即(n+1)an+1=3nan,=3,所以{nan}是以2a2=2为首项,3为公比的等比数列(n≥2),所以nan=2·3n-2,所以an=·3n-2(n≥2),因为a1=1,不满足上式,所以an=(2)an≤(n+1)λ⇔λ≥,由(1)可知当n≥2时,=,设f(n)=(n≥2,n∈N*),则f(n+1)-f(n)=<0,所以>(n≥2),又=3,可得λ≥×=,所以所求实数λ的最小值为.