【数学】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试试题

北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试试题本试卷共4页，满分150分，考试时间90分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则 （A）                     （B） （C）                      （D） 2.计算（A）         （B）          （C）        （D） 3.已知点，向量，则向量（A）     （B）    （C）       （D）4.复数在复平面内对应的点位于（A）第一象限    （B）第二象限     （C）第三象限    （D）第四象限5.已知函数的定义域为,则“”是“”的（A）充分而不必要条件              （B）必要而不充分条件    （C）充分必要条件                   （D）既不充分也不必要条件6.圆的圆心到直线的距离为（A）         （B）           （C）          （D） 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是（A）     （B）          （C）      （D） 8.已知函数是的导函数，则下列结论中错误的是 （A）函数的值域与的值域相同 （B）若是函数的极值点，则是函数的零点（C）把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象（D）函数和在区间上都是增函数第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.9.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则=　　　　.10.在中, ,的面积为,则=  　; =　 　. 11.已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β；⑤α⊥β.当满足条件      时，m⊥β.12.已知函数① 当时，若函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围是          ；② 若函数的最小值为-1，则          ． 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.（本小题满分15分）已知是等差数列，是等比数列，且，成等比数列，，．（Ⅰ）求的通项公式和的前项和及的最小值；（Ⅱ）求和: ． 14.（本小题满分16分）已知函数的图象经过点,（Ⅰ）求的值,并求函数的单调递增区间;（Ⅱ）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.      15. （本小题满分15分）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核合格. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：50116    60143358 7237687178114529  902130   (Ⅰ) 请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率；(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；              16.（本小题满分16分）    如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，已知，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的    余弦值；（Ⅲ）线段上是否存在点，使得  ?若存在，求出  的值；若不存在，说明理由．  17.（本小题满分16分）已知函数，.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求曲线的最值； （Ⅲ）求证:对任意的成立.            参考答案一、选择题：（） 1. D   2. B   3 .A   4.D   5. B     6.B  7. C    8. D二、填空题：（） 9.；10.（前3后3）；11. ②④；12. .（前3后3）三、解答题：本大题共5小题，共78分.13.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）根据三者成等比数列，可知，           …1分故，解得，                 …2分故；                                          …3分由，                                      …5分该二次函数开口向上，对称轴为，故时，取最小值-9.          …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.                                   …9分所以,可得或（舍）.                                    …11分因此.                                                           …13分从而数列是等比数列，公比为，首项为.所以                           …15分                                 14. (本小题满分16分） 解：（Ⅰ）根据题意得,                     …1分即,解得.                                   …2分所以       …4分.                                                 …5分由,                                 …6分得,                                      …7分所以函数的单调递增区间是.              …8分(一个都没写的扣一分)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.当时,, …10分所以.所以.                     …12分当,即时, f(x)取得最大值,最大值为.             …14分因为“不等式恒成立”等价于“”,                 …15分所以.故实数的取值范围是.                           …16分                     15. （本小题满分15分）解：（Ⅰ）中位数为，众数为，                                       …4分设该名学生考核成绩合格为事件，由茎叶图中的数据可以知道，               …5分名同学中，有名同学考核合格，所以所求概率约为 .         …7分                                          （Ⅱ）的所有可能取值为                                           …8分 因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人，  …9分所以，      ，                        …13分        随机变量的分布列为                                                                                                    …15分 16. (本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为，，，所以 ，…1分同理，，                                                        …2分又 ，所以 ，                                   …3分因为 ，所以．                                     …4分                                     （Ⅱ）因为，，，，所以 ,又 ，故，而四边形为正方形，所以 ．又，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，                 …6分如图:则 ，，，，则,取平面的一个法向量，     …7分设平面的一个法向量，则即                 …8分令，则，，，则．…9分设平面与平面所成锐二面角的大小为，则∴所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…10分（Ⅲ）若与重合，则平面的一个法向量．由（Ⅱ）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直．     …11分若与不重合，如图，设，则 ．所以                            …12分设平面的一个法向量，则即令，则，，所以，…14分若，则，即，所以．所以，线段上存在点使，且．…16分17. (本小题满分16分）（Ⅰ）因为,所以,                            …1分                                       所以，而                                                   …3分所以曲线在处的切线方程为 ，化简得   …4分                    （Ⅱ）因为,令，得，                          …5分则，，在区间 的变化情况如下表：10极大值  …8分  所以在时取得最大值,无最小值.                            …10分（Ⅲ）由，因为，所以只需证明即可                                      …12分因为，由（Ⅱ）知                           …13分（仅在处，其余各处）                                 …14分所以在上单调递减，所以，所以对任意的成立.                                       …16分