6.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_第六章　不等式、推理与证明 （16份打包）

课时分层训练(三十六)

直接证明与间接证明

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的个数有(　　)

A．2个 B．3个

C．4个 D．5个

D　[由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．]

2．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，则a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是(　　)

A．假设a，b，c至多有一个是偶数

B．假设a，b，c至多有两个偶数

C．假设a，b，c都是偶数

D．假设a，b，c都不是偶数

D　[“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．]

3．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　)

A．ac2<bc2　 B．a2>ab>b2

C.< D.>

B　[a2－ab＝a(a－b)，

∵a<b<0，∴a－b<0，

∴a2－ab>0，

∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.]

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证<a”索的因应是(　　)

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0

C　[由题意知<a⇐b2－ac<3a2

⇐(a＋c)2－ac<3a2

⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0

⇐－2a2＋ac＋c2<0

⇐2a2－ac－c2>0

⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]

5．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋(　　)

A．都大于2 B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2

C　[因为x>0，y>0，z>0，

所以＋＋＝＋＋≥6，

当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.]

二、填空题

6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．

x≠－1且x≠1　[“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]

7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________.

【导学号：31222229】

m<n　[法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，得m<n.

法二(分析法)：－<⇐＋>⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立．]

8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．

 【导学号：31222230】

3　[要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]

三、解答题

9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.

 【导学号：31222231】

[证明]　要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，

只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，

即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，

即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.8分

∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，

从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，

∴2a3－b3≥2ab2－a2b.12分

10.(2017·南昌一模)如图6­5­1，四棱锥S­ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N分别为SA，SC的中点，E为棱SB上的一点，且SE＝2EB.

图6­5­1

(1)证明：MN∥平面ABCD；

(2)证明：DE⊥平面SBC.

[证明]　(1)连接AC，∵M，N分别为SA，SC的中点，∴MN∥AC，

又∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴MN∥平面ABCD.5分

(2)连接BD，∵BD2＝12＋12＝2，BC2＝12＋(2－1)2＝2，

BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2，∴BD⊥BC.

又SD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴SD⊥BC，

∴SD∩BD＝D，∴BC⊥平面SDB.8分

∵DE⊂平面SDB，∴BC⊥DE.

又BS＝＝＝，

当SE＝2EB时，EB＝，

在△EBD与△DBS中，＝＝，＝＝，

∴＝.10分

又∠EBD＝∠DBS，∴△EBD∽△DBS，

∴∠DEB＝∠SDB＝90°，即DE⊥BS，

∵BS∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　) 【导学号：31222232】

A．A≤B≤C　　　　　 B．A≤C≤B

C．B≤C≤A D．C≤B≤A

A　[∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数．

∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.]

2．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________．

a2>b2＋c2　[由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.]

3．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．

(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；

(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.2分

由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，

即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.

因为b>1，所以b＝3.5分

(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，

因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，

所以有即10分

解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在.12分