16.3.1 平方差公式（培优课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册（新教材）

这是一份数学人教版（2024）16.3.1 平方差公式获奖课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了观察与思考，x2–1，m2–4，m2–1，m2–22，2m2–1，–ab，–b2，a2–b2，平方差公式等内容，欢迎下载使用。
掌握平方差公式的推导及应用.
理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想.
了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)×(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
（1）(x + 1)(x – 1) = __________；（2）(m + 2)(m – 2) = __________；（3）(2m + 1)(2m – 1) = __________.
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘
运算结果都是这两个数的平方的差
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b)(a – b)
证明一：利用多项式乘多项式的法则.
纸片剩余面积：a2 – b2
拼成的长方形面积：(a – b)(a + b)
(a – b)(a + b) = a2 – b2
证明二：利用几何图形.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形.
等号左边的两个二项式中的每一项有什么联系？
结构特征：(相同项)2 – (相反项)2
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)；
(2) (–x + 2y)(–x – 2y).
解：(1) (3x + 2)(3x – 2)
= (3x)2 – 22
(2) (–x + 2y)(–x – 2y)
= (–x)2 – (2y)2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
如作为因式的二项式的首项是负号，可连符号一起作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考.
(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)；
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5) ；
解：(1) (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)
= (x2 – 1)(x2 + 1)
(2) (y + 2)(y – 2) – (y – 1)(y + 5)
= y2 – 22 – (y2 + 4y – 5)
= y2 – 4 – y2 – 4y + 5
= – 4y + 1
能用平方差公式计算吗？
只有符合公式条件的乘法,才能运用公式简化运算,其余的运算仍按乘法法则进行.
(3) 102×98.
= (100 + 2)(100 – 2)
= 1002 － 22
= 9996
平方差公式的变形举例：
(a + b)(–b + a) =
(a + c)2 – b2
(–a – b)(a – b) =
(2a + b)(2a – b) =
(a2 + b2)(a2 – b2) =
(a + b + c)(a – b + c) =
(a + b)(a – b)(a2 + b2) =
1.已知(x+2)(x-2)-2x=1,则2x2-4x+3的值为（ ） A.13 B.8 C.-3 D.5
解析： ∵(x+2)(x-2)-2x=1，∴x2-2x-4=1，即x2-2x=5.∴ 2x2-4x+3=2(x2-2x)+3=2×5+3=13.
1. 下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)A．(x＋y)(x＋y) B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x) D．(x＋y)(–x–y)
2. 计算(2x+1)(2x–1)等于(　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
3. 一个长方体的游泳池长为(4a2+9b2)m，宽为(2a+3b)m，高为(2a-3b)m，则这个游泳池的容积为 .
(16a4-81b4)m3
(1)(a+3b)(a– 3b)；
原式=(2a+3)(2a–3)
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
4. 利用平方差公式计算：
5. 计算： 20252 – 2024×2026.
20252 – 2024×2026
= 20252 – (2025–1)×(2025+1)
– (20252–12 )
– 20252+12
6. 利用平方差公式计算:
(1)(a–2)(a+2)(a2+ 4) 解:原式=(a2–4)(a2+4) =a4–16.
(2) (x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4–y4)(x4+y4)
=x8–y8.
先化简，再求值：(x+1)(x–1) +x2(1–x) +x3，其中x＝2.
解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3
原式=2×22–1=7.
已知x≠1，计算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝ 1–x4.(1)观察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：①(1–2)×(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________.
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )