2026湖南长沙市雅礼集团中考一模数学试卷附答案

这是一份2026湖南长沙市雅礼集团中考一模数学试卷附答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在下列四个数中，其中是无理数的是（ ）
A．B．C．D．2026
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，粒粟的重量大约为千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为（ ）
A．千克B．千克
C．千克D．千克
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．一家鞋店在一段时间内销售某种品牌的女鞋双，各种尺码的销量如下表：
如果鞋店要购进双这种品牌的女鞋，那么其中，，三种尺码的鞋进货数量最合适的是（ ）．
A．双B．双C．双D．双
6．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，点在AB边上，若，且，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
9．如图，等腰三角形内接于，且点在底边上，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班B．2班C．3班D．4班
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
12．使代数式有意义的取值范围是 ．
13．当 时，分式与的值互为相反数．
14．如图，点、、是半径为的上的三个点，若，则弦的长等于 ．
15．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为 度．
16．雅雅让同学们猜一个两位数，四位同学对这个数作出了如下猜测：
甲：“这个数比60小，它是个双数．”
乙：“这个数比80大，它是个单数．”
丙：“这个数的数字和是12；它加上5后是11的倍数．”
丁：“这个数加上9后是10的倍数；它加上6后是7的倍数．“
雅雅检查后发现，每个同学都恰好说对了一半，这个两位数是 ．
三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，第24、25小题每小题10分，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求：
（1）楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）；
（2）该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，）
20．国家电影局2026年2月24日发布数据，2026年春节档电影票房为57.52亿元，观影人次为1.20亿．《飞驰人生3》票房领跑，《惊蛰无声》《镖人：风起大漠》《熊出没·年年有熊》《熊猫计划之部落奇遇记》《星河入梦》位列二至六位．
其中电影A《飞驰人生3》、B《惊蛰无声》、C《镖人：风起大漠》、D《熊出没·年年有熊》票房排名前四，为了解长沙初中学生对这4部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）___________，___________；
（2）请补全条形统计图；
（3）若长沙某初中共有学生1600人，据此估算该校喜爱“A《飞驰人生3》”的学生人数为_________人；
（4）张老师在班上抽取了4名学生，其中喜爱“A”的1人，喜爱“B”的2人，喜爱“C”的1人，若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人均喜爱“B《惊蛰无声》”的概率．
21．如图，是的一条弦，点是外一点，，交于点、交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
22．网红长沙本土奶茶店“茶颜悦色”销售A，B两种饮品，部分销售记录如表所示：
（1）求A，B两种饮品的单价；
（2）某班准备购买A，B两种饮品共30杯作为奖品发放给学生，若购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍，那么该班购买30杯饮品最少花多少钱？
23．如图1，在矩形中，是上一点，于点，设．
（1）若，求证：；
（2）如图2，若，且D、B、F在同一直线上时，求的值．
24．在平面直角坐标系中，对于抛物线，，是常数，图象上两个不同的点，，我们不妨约定：
如果满足，且，则称点与点是一对“失衡点”；
如果满足，则称点与点是一对“平衡点”；
若某函数图象上同时存在至少一对“失衡点”和至少一对“平衡点”，则称该函数为“完备函数”．
（1）判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①函数是“完备函数”；（ ）
②函数上存在无数对“失衡点”；（ ）
③若点与点是一对“平衡点”，则它们也是一对“失衡点”．（ ）
（2）已知抛物线与一次函数相交于两点、，且、恰好是该抛物线上的一对“失衡点”．若，直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若抛物线是“完备函数”，点、是一对“平衡点”．抛物线的顶点为，它与轴交于、两点．当是等边三角形时，记的面积为，试求的最小值．
25．如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上一点，连接交直径于，若，，．
（1）求证：与相切；
（2）若平分，求的值；
（3）设，记，若，求关于的函数解析式，并求自变量的取值范围．
答案
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、是分数，属于有理数；
B、开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
C、是有限小数，属于有理数；
D、2026是整数，属于有理数.
故答案为：B.
【分析】实数分为有理数与无理数，有限小数与无限循环小数是有理数，有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零和负整数，分数分为正分数与负分数；无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，
∴，运算正确；
B、∵单项式乘法中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，运算错误；
C、∵根据积的乘方法则，，
∴，运算错误；
D、∵合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，
∴，运算错误．
故答案为：A.
【分析】单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除的商作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母则连同指数作为商的一个因式(同底数幂相除，底数不变指数相减)据此可判断A选项；单项式乘以单项式，把系数与同底数幂分别相乘的积作为积的因式，对于只在其中一个因式中含有的字母则连同指数作为积的一个因式(同底数幂相乘，底数不变，指数相加)，据此可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断D选项.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：用科学记数法表示一粒粟的重量约为千克．
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：A、此选项中的手机手势解锁图案是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
B、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的手机手势解锁图案不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由表格可知，，，三种尺码的鞋的占比为，
（双），
结合选项可知，最适合的是双．
故答案为：B.
【分析】由统计表提供的信息可得尺码为23.5cm，24cm，24.5cm的销售数量依次为7双、9双、8双，从而用销售这三种尺码的鞋的数量除以销售该品牌鞋数量得出销售这三种尺码的鞋的占比，最后用购进该品牌鞋的总数量乘以样本中销售这三种尺码的鞋的占比即可估计出三种尺码的鞋进货数量最合适的数量.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示，
，，
，
∵a∥b，
.
故答案为：B.
【分析】由学具的性质及角的构成可求出∠3=65°，然后根据二直线平行，同位角相等可求出∠2=∠3=65°.
7．【答案】C
【解析】【解答】解： ∵在中，，∠A=20°∴，
∵由图中尺规作图痕迹可知，为的角平分线，
∴．
故答案为：C．
【分析】在△ABC中，利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠ACB=∠ABC=80°，由尺规作图痕迹可得CD为∠BCA的角平分线，然后根据角平分线的定义即可得出∠BCD的度数.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：C.
【分析】结合公共角，由有两组角相等的两个三角形相似得△CBD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BC的长.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵等腰三角形内接于，且点在底边上，
∴是直径，，，
∴，
∴
∴OC=1；
连接
∵，是等腰三角形，
∴，
则，
∴．
故答案为：D.
【分析】由等腰三角形定义得出，由直径所对圆周角为直角得出∠ABC=90°，然后利用那个勾股定理算出AC=2，连接OB，由等腰三角形的三线合一得出OB⊥AC，然后根据弧长公式“”列式计算即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为，
过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，
设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，
由图象可知：，，
依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数．
1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上，
，
，，
，，
，
即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数，
2班的优秀人数为最多．
故答案为：B．
【分析】设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，由点的坐标与图形性质得点为，点为，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于比例系数“k”比较，，，与的大小即可得出答案．
11．【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：m(1-a)(1+a).
【分析】先提取各项的公因式m，再利用平方差公式进行第二次分解，直至每一个因式都不能再分解为止.
12．【答案】
【解析】【解答】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数，
解得．
故答案为：x≥2026.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，据此列出关于字母x的不等式，求解即可.
13．【答案】0
【解析】【解答】解：分式与的值互为相反数，
去分母，得∶，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
故答案为∶0．
【分析】 利用互为相反数两数之和为0列出方程 ，然后方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-2)(x+2)约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OC，过点作于点，
，
，
，，
，，
圆的半径为，
，
，
．
故答案为：.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOC=2∠ABC=120°，由等腰三角形的三线合一得出∠AOD=∠AOC=60°及AC=2AD，然后根据∠AOD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出AD的长，进而即可得出AC的长.
15．【答案】1080
【解析】【解答】解：多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，
多边形的边数为，
这是一个正边形，
这个正多边形的内角和为．
故答案为：1080.
【分析】由于多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，结合该正多边形的每个外角都相等都是45°，可以求出多边形的边数，最后根据多边形的内角和公式“(n-2)×180°”计算即可．
16．【答案】57
【解析】【解答】解：整理四位同学的表述，每位一真一假：
甲：①这个数比小，②这个数是双数．
乙：①这个数比大，②这个数是单数．
丙：①数字和为，②加后是的倍数．
丁：①加后是的倍数，②加后是的倍数．
情况1：假设甲①真，甲②假，可得：这个数小于，是单数．
因为数小于，因此乙①为假，根据乙一真一假，得乙②真，符合这个数是单数，无矛盾；
若丁①真，则这个数加是的倍数，可得这个数个位为，则这个数可能为11，21，31，41，51；其数字和均不为12，且加5后也都不是11的倍数，故丙①②均为假，所以丁①是假，从而得丁②真，即这个数加是的倍数．
设这个数为，则，是小于的两位数单数，
可得：时，，数字和；
时，，数字和；
时，，数字和；
时，，数字和，符合丙①真，
验证丙②：，不是的倍数，丙②假，满足一真一假，所有条件都符合；
情况2：假设甲①假，甲②真，可得：这个数大于等于，是双数．
若乙①真，乙②假，可得：这个数大于，是双数，
若丁①真，则个位为，是单数，矛盾，因此丁①假，丁②真，
为的倍数，，其中x为双数，得，数字和，不是的倍数，丙全假，矛盾．
若乙①假，乙②真，可得：这个数小于等于，是单数，与“这个数是双数”矛盾，情况2不成立．
综上，符合所有条件的两位数是．
故答案为：57.
【分析】首先整理四位同学的陈述，把每一位同学的陈述的内容划分为两部分；分类讨论：情况1，分析甲和乙的关系：若甲前半句“比60小" 对，则甲后半句“双数”错(数为单数)；此时乙前半句"比80大”必错，故乙后半句“单数”必对，确定数的范围为“小于60的单数”；分析丁的陈述，丁需有一半正确，若丁前半句“这个数加上9后是10的倍数”对，则丁后半句“加6是7的倍数”错，则这个数加是的倍数，可得这个数个位为，则这个数可能为11，21，31，41，51；其数字和均不为12，且加5后也都不是11的倍数，故丙①②均为假，所以丁①是假，从而得丁②真，即这个数加是的倍数；设这个数为，则，是小于的两位数单数，再逐一验证得出结论；情况2，假设甲①假，甲②真，可得：这个数大于等于，是双数．若乙①真，乙②假，可得：这个数大于，是双数，若丁①真，则个位为，是单数，矛盾，因此丁①假，丁②真，再验证可得丙全假，矛盾；若乙①假，乙②真，可得：这个数小于等于，是单数，与“这个数是双数”矛盾，情况2不成立．
17．【答案】解：
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值“”，然后根据负整数指数幂的法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及绝对值性质分别化简，进而计算乘法，最后计算有理数加减法运算得出答案.
18．【答案】解：
，
，
，
，
，
当时，原式．
【解析】【分析】将括号内第一个分式的分子利用平方差公式公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，第二个分式的分母及分式本身同时改变符号，同时将除式分母利用提取公因式法分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后括号内第一个分式约分后利用同分母分式加法法则计算，进而计算分式乘法，约分化简，最后将a的值代入化简结果按含乘方的有理数混合运算的运算顺序计算可得答案.
19．【答案】（1）解：∵顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是，
，
在Rt中，，
（2）解：∵在一楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，
在Rt中，，
．
答：该纪念塔的高度约为59米．
【解析】【分析】（1）由俯角定义及平行线性质可推出∠ADB=30°，在Rt△ABD中，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由∠ADB的正切函数求出AD即可；
（2）由仰角定义得出∠CAD=65°，在Rt△ACD中，根据正切函数的定义，由∠CAD的正切函数求出CD即可.
（1）解：∵顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是，
，
在Rt中，，
（2）∵在一楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，
在Rt中，，
．
答：该纪念塔的高度约为59米．
20．【答案】（1）30；0.31
（2）解：由（1）知，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）480
（4）解：画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“”的结果有2种，
∴抽取的2人均喜爱“”的概率为．
【解析】【解答】（1）解：本次随机抽取的样本容量为：，
；
故答案为：30；0.31；
（3）解：该校学生喜爱“”的学生人数为（人）；
故答案为：480；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，喜欢电影B《惊蛰无声》的频数除以其频率即可求出本次随机抽取的样本容量，用本次随机抽取的样本容量乘以喜欢电影A《飞驰人生3》的频率即可求出喜欢电影 A《飞驰人生3》 的频数a的值，再用喜欢电影C《镖人：风起大漠》频数除以样本容量即可求出频率；
（2）根据（1）求解的a即可补全条形统计图；
（3）用长沙某初中学校学生的总人数乘以样本中喜爱A《飞驰人生3》的学生人数频率就可估算该校喜爱A《飞驰人生3》的学生人数；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图得到所有等可能性的结果数， 由树状图可知共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“B”的结果有2种，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解：本次随机抽取的样本容量为：，
；
（2）解：由（1）知，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）解：该校学生喜爱“”的学生人数为（人）；
（4）解：画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，抽取的2人均喜爱“”的结果有2种，
∴抽取的2人均喜爱“”的概率为．
21．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角得，，根据直角三角形两锐角互余、对顶角相等及等量代换可得∠OBC=∠OBA+∠ABC=90°，由垂直定义得即，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到，由对顶角相等、等边对等角及三角形的内角和定理推出，在根据三角形内角和定理得出，由等角对等边得，最后根据三角形和扇形的面积公式，由S阴影=S△BCO-S扇形OBQ列式计算即可.
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
又是半径，
与相切；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
22．【答案】（1）解：设种饮品的单价为元，种饮品的单价为元，
依题意得：
解得：
答：种饮品的单价为15元，种饮品的单价为16元．
（2）解：设购买杯种饮品，则购买杯种饮品，
依题意得：，
解得：．
设购买这30杯饮品的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值．
答：该班购买30杯饮品最少花456元钱．
【解析】【分析】（1）设A种饮品的单价为x元，B种饮品的单价为y元，根据单价乘以数量等于总价及“销售A种饮品60杯的金额+销售B种饮品20杯的金额=1220元，销售A种饮品30杯的金额+销售B种饮品40杯的金额=1090元”列出方程组，求解即可；
（2）设购买m杯B种饮品，则购买(30-m)杯A种饮品，根据“购买A种饮品的数量不超过B种饮品数量的4倍”列出不等式并解不等式得到m的取值范围；设购买这30杯饮品的总费用为w元，根据购买A种饮品(30-m)杯的金额+购买B种饮品m杯的金额等于总费用w，列出一次函数解析式，进而根据一次函数的性质进行解答即可．
（1）解：设种饮品的单价为元，种饮品的单价为元，
依题意得：
解得：
答：种饮品的单价为15元，种饮品的单价为16元．
（2）设购买杯种饮品，则购买杯种饮品，
依题意得：，
解得：．
设购买这30杯饮品的总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值．
答：该班购买30杯饮品最少花456元钱．
23．【答案】（1）证明：连接，如图：
∵四边形为矩形，
，，，
∴，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
又∵，，
∴
，
；
（2）解：∵四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
．
【解析】【分析】（1）连接DE，由矩形的性质得∠C=∠B=90°，AD∥BC，AB=CD，由二直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AEB，从而利用“HL”判断出Rt△DFE≌Rt△DCE，由全等三角形的对应边相等得DF=CD=AB；再利用“AAS”证△ADF≌△EAB，由全等三角形的对应边相等得AD=AE，再根据求解即可；
（2）由矩形性质得∠BAD=∠ABC=90°，在Rt△ADB中由正切函数定义求出∠ABD的正切值，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠FEB=∠ABD，由等角同名三角函数值相等及正切函数定义可求出，在Rt△ABE中，利用勾股定理计算出AE，再根据求解即可．
（1）证明：连接，如图：
∵四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
又∵，，
∴
，
；
（2）∵四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
．
24．【答案】（1）； ；
（2）解：设，，
根据题意可得：，
消整理得：，
由韦达定理得：，
又，
，，
、是抛物线上的一对“失衡点”，
，
解得：、中一个点坐标为，
将代入，
可得：，
，
直线过定点；
（3）解：是等边三角形，可得：，
，
函数是完备函数，
，
整理得：，
又，
解得：，
、是抛物线上的一对“平衡点”，
令，
整理得：，
，
又，
，
，
，
当时，取得最小值为．
【解析】【解答】（1）解：①中，，无论取何值，都有，
，
不存在一对“失衡点”，
函数不是“完备函数”，故①错误；
②函数中，
整理可得：，
，
，
，
整理得：，
当时，取任何值都有，
函数上存在无数对“失衡点”，故②正确；
③若点与点是一对“平衡点”，
则有，
整理得：，
则有，
点与点一定不是一对“失衡点”，故③错误；
故答案为：； ；；
【分析】（1）利用已知函数解析式及“失衡点”的定义可对①作出判断；将函数解析式转化为y=-（x-1）2+1，可知y的取值范围，再根据“失衡点”的定义可得到，可知当y1=1时，y2取任何值可得到得到，据此可对②作出判断；然后利用“平衡点”的定义可对③作出判断.
（2）设，，可得到，方程组整理后利用韦达定理得：可表示出x1+x2，结合已知条件可表示出k，根据“失衡点”的定义可知：、中一个点坐标为，据此可表示出m，函数解析式可转换为y=4ax-1，据此可得到直线PQ经过的定点的点的坐标.
（3）利用“失衡点”的定义，可得到a的取值范围，根据、是抛物线上的一对“平衡点”，可得，由此可求出当时，取得最小值.
（1）解：①中，，无论取何值，都有，
，
不存在一对“失衡点”，
函数不是“完备函数”，
故①错误；
②函数中，
整理可得：，
，
，
，
整理得：，
当时，取任何值都有，
函数上存在无数对“失衡点”，
故②正确；
③若点与点是一对“平衡点”，
则有，
整理得：，
则有，
点与点一定不是一对“失衡点”，
故③错误；
（2）解：设，，
根据题意可得：，
消整理得：，
由韦达定理得：，
又，
，，
、是抛物线上的一对“失衡点”，
，
解得：、中一个点坐标为，
将代入，
可得：，
，
直线过定点；
（3）解：是等边三角形，
可得：，
，
函数是完备函数，
，
整理得：，
又，
解得：，
、是抛物线上的一对“平衡点”，
令，
整理得：，
，
又，
，
，
，
当时，取得最小值为．
25．【答案】（1）证明： 如图，连接，
，
，
∵
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，∠CAD=90°
=45°，
，
=45°，
，
是的直径，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得：，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，①
∵，
∴，
，
，②
∴①÷②得，，
；
（3）解：在中，，
，
，
，
，
过作于，过作于，
则，
在中，，
，
在Rt中，，
，
∵，
∴
∴，
∴
由（2）知：，
，
，
在中，，
，
，
∴
，
，
∴，
∴由题意可得，的范围是：．
【解析】【分析】（1）连接，由等边对等角得，结合得到；由直角所对圆周角为直角得出∠CAD=90°，然后根据角的构成及等量代换推出∠BAO=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例并结合，得到，可求；由角平分线的定义、同弧所对的圆周角相等可推出∠PCD=∠PDC=45°，则△PCD为等腰直角三角形，由勾股定理求出，；再由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得到①，由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得到②，由①÷②求出，的值；
（3） 由相似三角形对应边成比例得到证明，由相似三角形对应边成比例得到，则；过作于，过作于，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得， 由相似三角形对应边成比例得到，由面积法可得，则； 由有两组角相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例得，然后计算出，则，由勾股定理求得AE，则，再化简求解函数解析式即可．
（1）证明： 如图，连接，
，
，
∵
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是的直径，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
解得：，
，
∴设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，①
∵，
∴，
，
，②
∴①÷②得，，
；
（3）解：在中，，
，
，
，
，
过作于，过作于，
则，
在中，，
，
在Rt中，，
，
∵，
∴
∴，
∴
由（2）知：，
，
，
在中，，
，
，
∴
，
，
∴，
∴由题意可得，的范围是：．尺码（）
销售（双）
等级
频数
频率
A
0.3
B
35
0.35
C
31
D
4
0.04
A
B
销售金额
60杯
20杯
1220元
30杯
40杯
1090元