2026届河南周口市中英文学校高三下第一次测试数学试题含解析

这是一份2026届河南周口市中英文学校高三下第一次测试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，在复平面内，复数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
2．的展开式中的系数是（ ）
A．160B．240C．280D．320
3．函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( )
A．B．C．D．
8．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
9．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
12．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．实数满足，则的最大值为_____．
14．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.
15．的展开式中的系数为________.
16．已知函数，则函数的极大值为 ___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.
18．（12分）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.
20．（12分）（1）已知数列满足：，且（为非零常数，），求数列的前项和；
（2）已知数列满足：
（ⅰ）对任意的；
（ⅱ）对任意的，，且.
①若，求数列是等比数列的充要条件.
②求证：数列是等比数列，其中.
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
22．（10分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.
【详解】
设公差为d，由题知，
，
解得，，
所以数列为，
故.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
2、C
【解析】
首先把看作为一个整体，进而利用二项展开式求得的系数，再求的展开式中的系数，二者相乘即可求解.
【详解】
由二项展开式的通项公式可得的第项为，令，则，又的第为，令，则，所以的系数是.
故选：C
【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.
3、C
【解析】
先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.
【详解】
因为，
所以是奇函数，故排除A，B，
又，
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4、A
【解析】
分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，
则满足，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
5、C
【解析】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
6、D
【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知与有个公共点即可，
即，当设切点，
则，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.
7、B
【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.
【详解】
由（）★★ ，得（+2）★★，
又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018，
又◆◆，◆，
所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020，
所以（◆2020）（2020★2018），
故选：B.
【点睛】
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
8、D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
9、D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、D
【解析】
将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.
【详解】
，对应的点位于第四象限.
故选:.
【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.
11、A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
12、A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、．
【解析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.
【详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值．
由同理
，，
取最大值．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
14、1344
【解析】
分四种情况讨论即可
【详解】
解：数学排在第一节时有：
数学排在第二节时有：
数学排在第三节时有：
数学排在第四节时有：
所以共有1344种
故答案为：1344
【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
15、80.
【解析】
只需找到展开式中的项的系数即可.
【详解】
展开式的通项为，令，
则，故的展开式中的系数为80.
故答案为：80.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.
16、
【解析】
对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.
【详解】
，故
解得， ，
令，解得
函数在单调递增，在单调递减，
故的极大值为
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）①可能是2件；②详见解析
【解析】
（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；
②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，进而可列出X的分布列，求出期望即可.
【详解】
（1）一件手工艺品质量为B级的概率为.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则，
则，其中，
.
由得，整数不存在，
由得，所以当时，，即，
由得，所以当时，，
所以当时，最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为，一件手工艺品质量为B级的概率为，
一件手工艺品质量为C级的概率为，
一件手工艺品质量为D级的概率为，
所以X的分布列为：
则期望为.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
18、 (1)证明见解析；(2)60°.
【解析】
试题分析：
（1）连结PD，由题意可得,则AB⊥平面PDE，；
（2）法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为，故二面角的大小为；
法二：以D为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面PBE的法向量．平面PAB的法向量为．据此计算可得二面角的大小为.
试题解析：
（1）连结PD，PA=PB，PDAB．，BCAB，DEAB．
又，AB平面PDE，PE平面PDE，
∴ABPE．
（2）法一：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
则DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,
过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EFPB，∠DFE为所求二面角的平面角，
则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为
法二：
平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0)，
=(1，0，)，=(0，，）．
设平面PBE的法向量，
令，得．
DE平面PAB，平面PAB的法向量为．
设二面角的大小为，由图知，，
所以即二面角的大小为.
19、（1） （2）
【解析】
（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.
【详解】
（1）由己知得：，解得，
所以，椭圆的方程
（2）设，．
当直线垂直于轴时，，且
此时，，
当直线不垂直于轴时，设直线
由，得．
，
.
要使恒成立，只需，即最小值为
【点睛】
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.
20、（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
（1）由条件可得，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；
（2）①若，可令，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当，，，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论．
【详解】
解：（1），，且为非零常数，，，
可得，
可得数列的首项为，公差为的等差数列，
可得，前项和为；
（2）①若，可令，，
且，即，，，，
对任意的，，可得，
可得，，
数列是等比数列，则，，
可得，，即，
又，即有，即，
数列是等比数列的充要条件为；
②证明：对任意的，，，，，
当，，，
可得，即以为首项、为公比的等比数列；
同理可得以为首项、为公比的等比数列；
对任意的，，可得，
即有，
所以对，，，
可得，，
即且，则，可令，
故数列，，，，，，，，，
是以为首项，为公比的等比数列，其中．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
21、（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.
【详解】
（1）当时,,则切线的斜率为.
又,则曲线在点的切线方程是,
即.
（2）的定义域是.
.
①当时,,所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减；
②当时,,所以当和时,；当时,,
所以在和上单调递增,在上单调递减；
③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；
④当时,,
所以和时,；时,.
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.
【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.
22、（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
X
900
600
300
100
P