2026届河南省新乡市新乡市第一中学高考数学四模试卷含解析

这是一份2026届河南省新乡市新乡市第一中学高考数学四模试卷含解析，共21页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，直角坐标系中，双曲线，函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )
A．B．C．D．
2．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
4．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
5．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ）
A．B．C．D．
6．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．3D．
8．已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
10．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．4C．2D．
12．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的最大值与最小正周期相同，则在上的单调递增区间为______.
14．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．
15．已知函数在处的切线与直线平行，则为________.
16．已知函数，则的值为 ____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.
18．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为，若用样本的频率作为概率，求随机变量的期望.
附：，其中.
19．（12分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.

（1）根据上述样本数据，将列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？
（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？
附：
20．（12分）已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于1．
21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为
求a，b的值；
证明：．
22．（10分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【详解】
抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．
2、A
【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.
【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题.
3、B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
4、D
【解析】
根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.
【详解】
因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到
故答案为：D.
【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
5、C
【解析】
根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：点E是中点，点F是中点
，
所以
又
所以
则
故选：C
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.
6、C
【解析】
作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥，底面，
可知四边形为矩形，且，.
矩形的外接圆直径，且.
所以，三棱锥外接球的直径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7、A
【解析】
由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理得：，
又，所以得，
故△ABC的面积.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.
8、A
【解析】
根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.
【详解】
解：设点到平面的距离为，因为是中点，
所以到平面的距离为，
三棱锥的体积，解得，
作平面，垂足为的外心，所以，且，
所以在中，，此为球的半径，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．
9、D
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接，，，
设，则，，，
，根据对称性知四边形为矩形，
中：，即，解得；
中：，即，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
10、A
【解析】
先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；
当时，，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11、B
【解析】
设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.
【详解】
解：抛物线焦点，准线，
过作交于点，连接
由抛物线定义，
，
当且仅当三点共线时，取“＝”号，
∴的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.
12、B
【解析】
可判断函数在上单调递增，且，所以.
【详解】
在上单调递增，且，
所以.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【详解】
∵
，
则函数的最大值为2，周期，
的最大值与最小正周期相同，
，得，
则，
当时，，
则当时，得，
即函数在，上的单调递增区间为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为定义域的一个子区间．
14、
【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于，，
因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，
令，设，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以，所以实数的最小值为．
15、
【解析】
根据题意得出，由此可得出实数的值.
【详解】
，，直线的斜率为，
由于函数在处的切线与直线平行，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
16、4
【解析】
根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可.
【详解】
解：
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】
(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,
则平面,即可证得平面平面．
(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，
且,最大即为最短时,即是的中点
建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．
由题意，得，，．
在中，，O为AC的中点，，
在中，，，，，．
，平面，平面ABC，
平面PAC，平面平面ABC．
（2）由（1）知，，，平面PAC，
是直线BM与平面PAC所成的角，
且，
当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．
由平面ABC，，
，，
于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，
则，
，
设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，
则由得：.
令，得，，即.
则.
直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.
18、（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）
【解析】
（1）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与6.635的大小得结论；
（2）由样本数据可得经常阅读的人的概率是，则，根据二项分布的期望公式计算可得；
【详解】
解：（1）由题意可得：
则，
所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.
（2）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以随机变量的期望为.
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的数学期望的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
19、（1）列联表见解析，99%；（2），；（3）第二种优惠方案更划算.
【解析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为，知服从二项分布，即，可求得其期望和方差；
（3）若选方案一，则需付款元，若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案.
【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以，
有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为， ，
；
（3）若选方案一，则需付款元
若选方案二，设实际付款元，，则的取值为1200，1080，1020，
，，，

选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.
20、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；
（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.
【详解】
（1），由，
记，，
由，且时，，单调递减，，
时，，单调递增，，
由题意，方程有两个不同解，所以；
（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
记，则，
因为，所以，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，即函数的极大值不小于1.
解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
因为，，所以.
即函数的极大值不小于1.
【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.
21、（1）；（2）见解析
【解析】
分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.
详解：（1）解：，由题意有，解得
（2）证明：（方法一）由（1）知，.设
则只需证明
，设
则， 在上单调递增
，
，使得
且当时，，当时，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
，由，得，
，
设，，
当时，，在单调递减，
，因此
（方法二）先证当时， ，即证
设，则，且
，在单调递增，
在单调递增，则当时，
（也可直接分析 显然成立）
再证
设，则，令，得
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，即
又，
点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.
22、（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
【点睛】
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
不经常阅读
合计
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
100
30
130
不经常阅读
40
30
70
合计
140
60
200
204
219
228
273
291