北京市西城区2026届高三下学期5月二模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市西城区2026届高三下学期5月二模数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（ ）
A．1B．C．D．
4．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，为终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在上单调递增，设，则函数是（ ）
A．奇函数，且在上单调递增B．偶函数，且在上单调递增
C．奇函数，且在上单调递减D．偶函数，且在上单调递减
6．在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．设函数，若不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（ ）
A．6aB．8aC．9aD．12a
10．已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（），满足，则（ ）
A．可能为常数列B．可能为等差数列
C．不可能为等比数列D．可能为递减数列
二、填空题
11．在△ABC中，若，，，则最大内角的余弦值为__________.
12．在的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）
13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为__________.
14．设函数，集合，其中.若集合M中共有3个元素，则的取值范围是__________；若集合M中共有4个元素，则这4个元素乘积的最小值为__________.
15．在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若为曲线C上一点，则，；
②曲线C上两点间距离的最大值为；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
16．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，直线PC与底面ABC所成角的大小为.
(1)求证：平面PAB；
(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
17．已知函数，其中.
(1)求函数的最小正周期；
(2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值.
条件①：；
条件②：函数在上单调递减；
条件③：函数为偶函数.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18．随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.
(1)在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
(2)从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明）
19．已知椭圆（）的左焦点为，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线与C交于A，B两点，过点A作AP垂直直线MF于点P，记和的面积分别为和，求证：.
20．已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对于，讨论与的大小；
(3)当时，证明：方程存在两个根，，且.
21．给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
(1)在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明）
(2)证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集；
(3)在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由.
1．D
【详解】集合，集合，检验中元素是否属于：
时，； 时，；
无法表示为（）的形式，故中仅有，.
选项A：，即中所有元素都属于，不成立.
选项B：，即中所有元素都不属于，不成立.
选项C：，等价于，不成立.
选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立.
2．A
根据复数的除法计算方法，求解.
【详解】已知,则.
故选:A.
3．C
根据题意得到右顶点为，及其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算．
【详解】解：双曲线，则右顶点为，
由对称性，不妨取其中一条渐近线，方程为，即，
则右顶点到其渐近线的距离为．
4．A
【详解】由题意知为终边上一点，故，
所以.
5．C
先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可.
【详解】因为，其定义域为，关于原点对称,
所以,
所以 是奇函数，排除选项B和D;
因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减,
因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减，
综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确.
6．B
【详解】取的中点，，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
7．C
根据函数的单调性及零点，结合条件分析可得，与的零点相同，可得的关系，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】，定义域为，
因为的解集为，所以在定义域内恒成立，
因为为单调递增函数，且零点为，
为单调递增函数，且零点为，
所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即，
所以，故A、B错误；
，
所以，故C正确，D错误.
8．D
根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合正方体的结构特征推理判断.
【详解】正方体W的8个顶点中最多有4个顶点在同一平面内，
由正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等，得这6个顶点必在两个与平面都平行的平面内，
当6个顶点中有4个顶点在一个平面内，则平面与正方体的一个正方形表面平行或与正方体的一对相对棱平行，
当平面与正方体的一个正方形表面平行时，只有4个顶点或8个顶点到平面的距离相等，不符合题意；
当平面与正方体的一对相对棱平行时，
如图，在正方体中，依次取棱的中点，
则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等；
反之，平面将正方体W分成体积相等的两部分，平面必过该正方体的中心，
正方体W的8个顶点中到平面的距离相等的顶点不一定是6个，
如在正方体中，平面过该正方体的中心，
只有4个顶点或到平面距离相等，
所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件.
9．B
根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解.
【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为，
得，即，设实际年平均增长率为，
由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得，
即，因此2033年工厂的实际年产值为.
10．D
对于A，不妨设，可知即可判断；对于B，易知公差不符合题意，再推导也不符合题意即可；对于C，若为等比数列，设，公比为，易知当时可解得即可判断C；对于D，易知为等比数列，，时符合题意．
【详解】对于A，若为常数列，不妨设，
显然，故A不符合题意；
对于B，若为等差数列，设公差为，易知时不符合题意，
当时，数列单调递增，则，
，故当时，不存在正整数s，t使得，故B错误；
对于C，若为等比数列，设，公比为，
若，则，
解得或（舍去），
即可能为等比数列，当，时，
对任意的正整数i，总有，即即可，故C错误；
对于D，由C易知，为等比数列，，时，单调递减，
对任意的正整数i，总有，
即时，即满足，则可能为递减数列，故D正确．
11．
先由三角形大边对大角判定边长所对的角是最大内角，再直接套用余弦定理，把代入式子化简计算，即可求出最大内角的余弦值.
【详解】在中，三边，，，根据大边对大角.
最长边所对的角为最大内角.
由余弦定理：.
代入得：.
12．
需先写出二项式展开式的通项公式，令的指数为 0 求出的值，再代入通项公式计算常数项即可.
【详解】因为二项式 的通项为 ，
又因为，，，
所以
因为常数项要求 的指数为 0，所以，解得，
所以.
13．0（答案不唯一，取值范围为）
设，，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，根据数量积的坐标运算结合圆的性质分析求解.
【详解】设，，即，则，
因为，即，可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
可得，所以的一个取值为0.
14． 140
将方程根的个数转换成函数图象的交点个数，再结合指对数转换和二次函数性质即可求解.
【详解】方程根的个数，可转换成函数图象的交点个数，
如下图：
由函数图象可知，当时，函数图象共有3个交点，
故若集合M中共有3个元素，则的取值范围是，
若集合M中共有4个元素，由图象可知的取值范围是，
设4个元素由小到大为，
则，即，得，
，即，得，
，即，得，
，即，得，
所以，
故当时，取得最小值140.
15．①③④
根据方程求的范围判断①，求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值判断②，根据第一象限内曲线所围成面积的范围判断③，直线方程与曲线方程联立，由方程解得个数判断④.
【详解】由方程得，所以，解得，即，
又，所以，即，故①正确；
因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称，
则关于原点的对称点也在曲线C上，则，代入，可得，
令，则，对称轴方程为，
所以最大值为，即，故②错误；
由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为，
第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于，
当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于，
因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确；
若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线方程可得，解得或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有一解，即交点只有1个，故④正确.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）根据条件，可得，可求出各个长度，根据勾股定理，可证，根据线面垂直的性质定理，可证，根据线面垂直的判定定理，即可得证.
（2）如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，分别求出平面PAC与平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.
【详解】（1）因为平面ABC，所以即为直线PC与底面ABC所成的角，即，
在中，，所以，，
又，，所以，则，
又平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，平面PAB，
所以平面PAB.
（2）以B为原点，为x，y轴正方向，作垂直于平面ABC为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面PAC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
设平面PBC的法向量，则，
所以，令，则，所以，
则，
所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)选条件①或③：最大值为1，最小值为；不能选条件②
（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合周期公式求解即可；
（2）选①：结合题设可得，进而求出，再根据正弦函数的性质求解；选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；选③：先得到，再结合正弦型函数的奇偶性求出，再根据正弦函数的性质求解.
【详解】（1）由，
则函数的最小正周期为.
（2）选条件①：由，则，
所以（舍去）或，
即，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
选条件②：当时，，
因为函数在上单调递减，
所以，，无解，则函数不存在，不满足题意；
选条件③：由，
因为为偶函数，所以，
则，又，则，即，
当时，，则，
所以函数的最大值为1，最小值为.
18．(1)
(2)
，
(3)
（1）根据古典概型的概率公式即可求解；
（2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列和数学期望；
（3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论.
【详解】（1）2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数，
其中增长的年份共8年，因此所求概率为；
（2）2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个；
2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。
X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率：
，，
，，
故X的分布列为：
；
（3）未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35；
成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升，
总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似，
由此从数据波动幅度可看出：
总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人，
故.
19．(1)
(2)证明见解析
（1）将点代入椭圆方程可得，结合焦点可得，进而结合的关系求解即可；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而求证即可.
【详解】（1）由点在椭圆C上，得，
而左焦点为，则，即，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，
设直线的方程为，，，
联立，得，
则，即或，
且，则，
而
，
，故.
20．(1)
(2)当时，；当时，；当时，
(3)证明见详解
（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）利用作差法可得，构造新函数，，利用导数判断单调性，进而分析符号；
（3）利用导数判断的单调性和最值，即可证方程存在两个根，结合（2）中大小关系分析证明.
【详解】（1）若，则，且，
可得，，
所以曲线在点处的切线方程.
（2）由题意可知：的定义域为，则，
可得，
因为，且，则，
令，，
则，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
即，可知在内单调递增，且，
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
当时，则，可得，所以；
综上所述：当时，；当时，；当时，.
（3）因为的定义域为，，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0；
则与有2个交点，所以方程存在两个根，，
不妨设，则，且，
由（2）可知：当时，，
则，即，
又因为，，且在内单调递减，
则，所以.
21．(1)故答案不唯一，如
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
（1）根据集合的新定义直接求解；
（2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可；
（3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可.
【详解】（1）由题意，或且，
即，
则满足性质T的三元子集不唯一，如.
（2）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集．
将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；
同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16.
假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数．
故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为．
这与矛盾．
所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
（3）记，其中为偶数．不妨假设时有意义．
当时，的三元子集只有一个，且具有性质，
所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
记中具有性质的三元子集为．
当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集．
因为的子集，
和
为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个），
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个，
同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集，
且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，
即，
，
，
.
又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．
以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
C
B
C
D
B
D
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P