2025-2026学年下学期湖北省圆创联盟高三数学2026年5月模拟考试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期湖北省圆创联盟高三数学2026年5月模拟考试试卷含答案，共12页。试卷主要包含了 选择题的作答， 非选择题的作答， 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.
1. sin15∘+cs15∘=
A. 22 B. 32 C. 62 D. 2
2. 已知集合 A={x∣x>a},B={x∣−1≤x≤2} ,若 ∁RA∩B=⌀ ,则 a 的取值范围是
A. −∞,−1 B. −1,2 C. −∞,2 D. [2,+∞)
3. 已知复数 z 满足 zz=2i1−z ,则 z=
A. i B. −i C. 1+i D. 1−i
4. 已知一组样本数据有两层,第一层有 N 个数据,平均数为 x ,第二层有 M 个数据,平均数为 y ,两层数 据合到一起计算出的平均数为 z ,后来第一层又增加了 n 个数据,这 n 个数据的平均数为 m ,则新的样 本数据的平均数为
A. x+m+y3 B. z+m
C. z+nmM+N+n D. Nx+nm+MyN+M+n
5. 已知函数 fx=1+22x−11x ,则 fx
A. 是奇函数，且在区间 0,+∞ 单调递增 B. 是偶函数，且在区间 0,+∞ 单调递减
C. 是奇函数，且在区间 0,+∞ 单调递减 D. 是偶函数，且在区间 0,+∞ 单调递增
6. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 e ，点 1,e 在 C 上，则 b=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7. 已知随机事件 A、B、C 满足 PA=13,PB=PC=14,PAB=PAC=0,PBC=16 ,则 A、B、C 至少有一个发生的概率为
A. 12 B. 23 C. 34 D. 56
8. 在 △ABC 中,已知 AB=2AC,BC=3 . 记点 A 的运动轨迹为曲线 E,△ABC 的外接圆 M 与曲线 E 交于 A、D 两点. 当 ∠ABC 取最大值时, AD=
A. 433 B. 477 C. 4217 D. 23
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选 对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知等比数列 an 的公比 q>1 ,则
A. 数列 an 是递增数列 B. 数列 an 是递增数列
C. 数列 an2 是递增数列 D. 数列 a1a2n 是递增数列
10. 已知函数 fx=x3−3ax+b ,则
A. fx 一定有零点
B. 曲线 y=fx 与直线 y=x+b 恒有 3 个交点
C. 若 fx 有 3 个零点,则它们的和为 0
D. 曲线 y=fx 上始终存在中心和 4 个顶点都在其上的菱形
11. 已知正四棱锥 P−ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,高为 ℎ ，其五个顶点均在半径为 R 的球 O1 的球面上,半径为 r 的球 O2 与正四棱锥的五个面均相切,则
A. 若四棱锥 O2−ABCD 和三棱锥 O2−PBC 的体积相等，则 ℎ=15
B. 若 O1 为底面中心,则 r=6−22
C. 若 O1 与 O2 重合,则 R=1+2
D. 若 O1 在棱锥内,且在球 O2 的球面上,则 R=1+3r
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 a=1,−1,b=0,2 ，若 a+b 与 2a−kb 平行，则实数 k= _____.
13. 已知 A13,3,B73,−3 为曲线 y=3sinωx+φ01 ,所以数列 a1a2n 是递增数列, D 正确,选 BCD.
10. 对 A 选项,由三次函数图象可知,其至少有一个零点,故 A 正确;
对 B 选项,方程 x3−3ax+b=x+b 可整理为 xx2−3a−1=0 ,当 3a+1≤0 时,方程只有一个根, 对应曲线没有 3 个交点,故 B 错误;
对 C 选项,设其 3 个零点分别为 x1,x2,x3 ,则 fx=x3−3ax+b=x−x1x−x2x−x3 ,展开有 x−x1x−x2x−x3=x3−x1+x2+x3x2+x1x2+x2x3+x1x3x−x1x2x3 ,从而 x1+x2+x3=0 ,故 C 正确;
对 D 选项,由于曲线 y=fx 关于点 0,b 中心对称,不妨设 b=0 . 若存在符合条件的菱形,则其中心为原点,过原点互相垂直的直线为菱形的对角线. 由 f′x=3x2−3a ,曲线 y=fx 在原点的切线斜率为 -3a. 只有当 a>0 且直线的斜率大于 −3a 时,对应直线才与曲线 y=fx 有两个交点,菱形才能存在,当 a≤0 时,不存在这样的菱形. 故 D 错误,选 AC.
11. 设正方形 ABCD 的中心为 F ,取 BC 的中点 E ,连接 PE ,则 PE=ℎ2+1,PC=ℎ2+2 .
分别过 O2、O1 ,作 O2G⊥PE、O1H⊥PC . 由题意,知 O2G=O2F=r,PO1=R .

对于选项 A ,由 VO2−ABCD=VO2−PBC ,得 13×4×r=13×12×2×
ℎ2+1×r ,解得 ℎ=15 ,故 A 正确;
对于选项 B,R=ℎ=2 ,可以求得棱锥的表面积为 4+43 .
由 VP−ΛBCD=13×4×2=13×r×4+43 ,解得 r=6−22 ,
故 B 正确;
对于选项 C ,有 ℎ=R+r . 在 Rt△O2FC 中,有 R2=r2+2 .
由 Rt△PO2G∼Rt△PEF ,得 r1=Rℎ2+1 ,解得 R2=1+2 ,故 C 错误;
对于选项 D ,有 ℎ=R+2r . 在 Rt△O1FC 中,有 R2=4r2+2 . 由 Rt△PO2G∼Rt△PEF ,得 r1= R+rℎ2+1 ,化简得 R3−6Rr2−4r3=0 ,即 Rr+2Rr2−2Rr−2=0 ,解得 Rr=1+3 . 故 D 正确. 选 ABD.
12. 由已知得 a+b=1,1,2a−kb=2,−2−2k . 由平行得 2+2+2k=0 ,所以 k=−2 ,故填一 2 .
13. 由题意 13ω+φ=π2,73ω+φ=3π2 ,解得 ω=π2 ,则 φ=π3 .
14. 设 Ax1,ex1、Bx2,e2−x2 ,则 AD=ex1,BC=e2−x2 . 由 AD=ex11+ln2 ,有 f′x=34+ln2−2x2ex−2 .
当 x∈1+ln2,2+ln22 时, f′x>0,fx 单调递增; 当 x∈2+ln22,+∞ 时, f′x0 ，解得 a>12e .
所以 a 的取值范围是 12e,+∞ . (6 分)
(2)由(1)知， 12a 为 fx 的极值点.
由不动点的定义,有 12−12ln12a=12a ,整理得 1+ln2a−2a=0 . (8 分)
令 ℎx=1+ln2x−2x ,则 ℎ′x=1x+22x32 . 由 ℎ′x>0 ,知 ℎx 单调递增. (9 分)
因为 ℎ12=1−2=−10 , (11 分)
所以存在 a∈12,e2 ,使得 fx 的极值点同时也是不动点. (13 分)
16.(1)由题意 a3=3a1+2,S2=4S1 ，所以 a1+2d=3a1+2,2a1+d=4a1 ，
解得 a1=1,d=2 . (3分)
所以 an=2n−1 . (5 分)
(2)由(1)知， Tn=2n2n+1=1−12n+1 ， b1=T1=23 . (6 分)
所以当 n≥2 时, bn=Tn−Tn−1=12n−1−12n+1 . (8 分)
当 n=1 时, b1=1−13=23 也成立,所以 bn=12n−1−12n+1 . (9 分)
Tn≤kan+bn 等价于 1−12n+1≤k2n−1+12n−1−12n+1 ,
整理得, k≥12n−1−12n−12 . (11 分)
记 fn=12n−1−12n−12 ,则 fn=−12n−1−122+14 ,而 2n−1≥1 ,所以
当 n=1 或 n=2 时, fn 有最大值. (13 分)
当 n=1 时, f1=0 ; 当 n=2 时, f2=29 . (14 分)
所以 fn 的最大值为 29 ,即 12n−1−12n−12 的最大值为 29 ,故 k≥29 . (15 分)
17.(1)由条件可知， BD⊥AC,AB=AD=a ， AA1=b .
因为 BD=AD−AB ,
所以 BD⋅AA1=AD−AB⋅AA1=AD⋅AA1−AB⋅AA1=abcsθ−abcsθ=0 .
所以 BD⊥AA1 . (2 分)
因为 AC⊂ 平面 A1ACC1,AA1⊂ 平面 A1ACC1,AC∩AA1=A ,
所以 BD⊥ 平面 A1ACC1 , (3 分)
因为 BD⊂ 平面 D1DBB1 ,所以平面 A1ACC1⊥ 平面 D1DBB1 . (4 分)
(2)平行六面体的表面积 S=2AB⋅ADsinθ+4AD⋅AA1sinθ=2a2+4absinθ . (6 分) 所以,当 θ=π2 时,平行六面体的表面积取最大值. (7 分)
(3)在(2)的条件下，该平行六面体为长方体. 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A0,0,0 ， A10,0,b,Ca,a,0,B1a,0,b . 所以 AC=a,a,0,AB1=a,0,b,A1C=a,a,−b .

设平面 AB1C 的法向量为 n=x,y,z .
由 AC⋅n=0,AB1⋅n=0, 得 ax+ay=0,ax+bz=0.
令 x=b ,得 y=−b,z=−a ,所以 n=b,−b,−a . (10 分) 设直线 A1C 与平面 AB1C 所成的角为 φ ,
则 sinφ=cs=ab2a2+b22b2+a2
=12+b2a22+a2b2=15+2a2b2+b2a2. (13 分)
因为 a2b2+b2a2≥2 ,当且仅当 a=b 时取等号,所以 sinφ≤13 . (14 分)
所以,直线 A1C 与平面 AB1C 所成的角最大时, a=b . (15 分)
18.(1)由题意， a=1 ， c=2 ，所以 b2=c2−a2=3 . (1 分)
所以 E 的方程为 x2−y23=1 . (2 分)
(2)设 Mx0,y0 ，则 x02−y023=1 .
因为 ab=13,−ab=−13 ,
所以 MG 的方程为 y−y0=13x−x0,MH 的方程为 y−y0=−13x−x0 . (3 分) 设 Gx1,y1,Hx2,y2 .
将直线 MG 的方程与曲线 E 方程联立,
得 83x2−23y0−13x0x−3−y0−13x02=0 ,
解得 x1=−3−y0−13x0283x0 . (4 分)
同理,可得 x2=−3−y0+13x0283x0 . (5 分)
所以 x1−x2=23x0y083x0=32y0,x1+x2=−6−2y02−23x0283x0=−52x0 . (6 分)
所以 GH2=x1−x22+y1−y22=34y02+x1+x23−2x032
=343x02−3+274x02=944x02−1. (7 分)
由于 x02≥1 ,所以 GH2≥274 ,从而 GH 的最小值为 332 . (8 分)
(3) 设 l1:y=k1x+2,l2:y=k2x−2 ,则 k1k2=b2a2=3 .
设 Px0,y0 ,则 y0​2=3x0​2−4 . (9 分)
设 l1 的倾斜角为 α,l2 的倾斜角为 β,∠F1PF2=θ ,则 θ=β−α .
所以 sinθ=sinβ−α . (10 分)
于是, sin2θ=sin2αcs2β+cs2αsin2β−2sinαcsαsinβcsβsin2α+cs2αsin2β+cs2β
=tan2α+tan2β−2tanαtanβ1+tan2α1+tan2β=k12+k22−61+k121+k22. (11 分)
联立 l1 与 E 的方程,得 3−k12x2−4k12x−4k12−3=0 .
设 Ax3,y3,Bx4,y4 .
则 x3+x4=4k123−k12,x3x4=−4k12−33−k12 . (12 分)
所以, PAPB=1+k12x3−x0x4−x0
=1+k12x3x4−x0x3+x4+x02
=1+k123−k12−4k12−3−4k12x0+3−k12x02
=1+k123−k12k12x0+22−3x02+3
=1+k123−k12y02−3x02+3=91+k123−k12. (14 分)
同理, PCPD=91+k223−k22 . (15 分)
所以 S△PADS△PBC=12×PAPDsinθ×12PCPBsinθ =14×91+k123−k12×91+k223−k22×k12+k22−61+k121+k22 =814×k12+k22−69−3k12−3k22+k12k22=814×k12+k22−618−3k12−3k22=274 ,为定值. (17 分)
19. ( 1 )当 n=2 时，由题意知 X 的可能取值为0,1,2,3,4.
PX=0=C20×122=14,
PX=1=C21×122×C10×12=14,
PX=2=C21×122×C11×12+C22×122×C20×122=516,
PX=3=C22×122×C21×122=18,
PX=4=C22×122×C22×122=116.
(4 分)
X 的分布列为
EX=0×14+1×14+2×516+3×18+4×116=32. (6 分)
(2)当 n=3 时,求得 X 的分布列为
当 n 为偶数时, m=n ; (8 分)
当 n 为奇数时, m=n−1 . (10 分)
(3)设第一次正面朝上的次数为 i,i=0,1,2,⋯,n ，第二次正面朝上的次数为 j,j=0,1,2,⋯,i ， 则 x=i+j .
PX=i+j=Cni×12n×Cij×12i. (12 分)
从而, EX=​n−1​ii+jCni×12n×Cij×12i . (13 分)
由组合数的性质, kCnk=nCn−1k−1 ,所以 k=0nkCnk=nk=1nCn−1k−1=n⋅2n−1 . (14 分)
所以 EX=1u​̇i+jCni×12n×Cij×12i =i=0nj=0iiCijCni12n+i+jCijCni12n+i =i=0niCni12n+i​iCii+Cni12n+i​ijCii =i=0niCni12n+i×2i+Cni12n+i×i2i−1 =12ni=0niCni+12n+1i=1niCni =12n×n⋅2n−1+12n+1×n⋅2n−1=34n. (17 分)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
D
B
A
B
C
BCD
AC
ABD
X
0
1
2
3
4
P
1
14
516
18
116
X
0
1
2
3
4
5
6
P
8 64
1264
18
43
9 64
364
16