2025-2026学年下学期湖南省郴州高三数学2026年5月第四次教学质量监测试卷含答案

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注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
4．本试题卷共 6 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
一、选择题(本题共 8 小题，每题 5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.)
1. 已知集合 A={x∣x−2x+1≤0},B={x∣x=2k,k∈N} ，则 A∩B=
A. {−2,0} B. {0,2} C. {0} D. {2}
2. 若复数 z 满足 i⋅z=1−i ,则复平面内表示复数 z 的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 以 A2,3,B6,7,C13,0,D9,−4 为顶点的四边形是
A. 矩形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 正方形
4. x−26 的二项展开式中所有项的系数的最大值为
A. 84 B. 128 C. 240 D. 560
5. 下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间 π2,π 上单调递减的是
A. y=csx B. y=sin2x C. y=tanx D. y=csx2
6. 若直线 y=x−2 上存在点 P ,圆 x+m2+y2=1 上存在点 Q ,使得 PQ=1,0 ,则 m 的最大值为
A. -1 B. 3−2 C. −3+2 D. 3
1. 阅读材料: 空间直角坐标系 O−xyz 中,过点 Px0,y0,z0 且一个法向量为 n=a,b,c 的平面 α 的方程为 ax−x0+by−y0+cz−z0=0 ,阅读上面材料,解决下面问题: 已知平面 α 的方程为 2x+y+z=2 ,点 Q2,1,−1 ,则点 Q 到平面 α 距离为
A. 66 B. 63 C. 62 D. 1
8. 已知实数 x,y 满足 ln2x+y−ex+2y−x+y+2=0 ,则 yx 的值为
A. 1
B. 12
C. -1
D. −12
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为 Pt,2 ,则
A. F 的坐标为 1,0 B. 直线 AB 的斜率为 -1
C. 点 P 到准线的距离为 4 D. FA⋅FB=8
10. 2026 年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化. 某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数 fx=sin2wx+π30b>0 的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆 C 的离心率 e=
13. 已知函数 fx=e2x 与函数 y=gx 互为反函数,若 P,Q 分别为它们图象上的两个动点, 则这两点之间距离的最小值为_____
14. 在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 已知 bcsC,acsA,ccsB 成等差数列,且 b=1 ,若 O 是 △ABC 外接圆的圆心,则 △OAC 和 △OBC 面积之差的取值范围为_____
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (本题 13 分)已知函数 fx=2sin2x,gx=tanx,x∈0,π2 . 设曲线 y=fx 与 y=gx 在区间 0,π2 内的交点为 P .
(1)求点 P 的坐标；
(2)设两曲线在点 P 处的切线夹角为 θ ，求 sinθ .
16. (本题 15 分) 在棱长为 3 的正方体 OABC−OA′B′C 中，点 E ， F 分别在线段 AB ， BC 上， 且满足 A′F⊥C′E .
(1)取 A′F 的中点为 M,A′A 的中点为 N ，求证: MN// 底面 OABC ；
(2)求证: AE=BF ；
(3)若 CF=1 . 请问:在线段 OO′ 上是否存在点 G ，使得二面角 G−EF−B′ 为 90∘ ？若存在， 求 OGGO′ 的值; 若不存在,请说明理由. 17. (本题 15 分) 某兴趣小组设计一种 “量子通信模拟” 实验: 盒中装有大小、形状完全相同的红球 4 个和白球 2 个, 每次从盒中随机摸出 1 个球, 记录颜色后放回.规定: 摸到红球记为发送红球信息, 摸到白球记为发送白球信息.

发送者甲每次摸球后,随机选择两种编码方式 A,B 中的一种发送信息; 接收者乙收到信息后, 也随机选择 A,B 中的一种方式进行解码,且二者选择 A,B 的概率均为 12 . 已知: 若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的概率为 1 ；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为 12 .
(1)求乙正确得到该次球颜色的概率 p ；
(2)独立进行 3 次通信，记随机变量 X 为这 3 次中乙显示为红球的次数，求 X 的概率分布列及数学期望;
(3)现加入窃听者丙. 每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择 A ， B 中的一种方式进行 “窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.
设无窃听者时,乙正确得到信息的概率为 p1 ,有窃听者时为 p2 .
(i) 求 p1,p2 ;
(ii) 为判断通信过程中是否存在窃听,独立重复进行 n 次通信,记乙正确得到信息的次数为 Y . 规定统计量 Z=Y−np1np11−p1 . 当 Zlnn+1+n2n+1 ；
(3)已知数列 bn 满足 bn=−1n+1an ，记 bn 的前 n 项和为 Tn ，证明: T2n0 ,
故可化简为 4cs2x=1 ,从而 csx=12⋯ (3 分)
又 x∈0,π2 ,所以 x=π3 . 代回求得 y=tanπ3=3 . (4 分)
因此交点坐标为 Pπ3,3 (6 分)
(2)先求两曲线在点 P 处的切线斜率.
对 fx=2sin2x 求导,得 f′x=4cs2x (7 分)
所以 k1=f′π3=4cs2π3=4⋅−12=−2 . (8 分)
对 gx=tanx 求导,得 g′x=1cs2x 所以 k2=g′π3=4 . (9 分)
两条切线夹角 θ 满足 tanθ=k2−k11+k1k2.00 时, fx>0 . 于是 12x+xx+1>ln1+x .
故 x>ln1+x+12x−xx+1 . 令 x=1k ,得 1k>ln1+1k+121k−1k+1 .
即 1k>lnk+1k+121k−1k+1 . (10 分)
将 k=1,2,…,n 的不等式相加,得 k=1n1k>k=1nlnk+1k+12k=1n1k−1k+1 .
所以 Sn>lnn+1+121−1n+1 . 即 Sn>lnn+1+n2n+1 .
因此原命题成立。 (11 分)
(3)由(1)知 an=1n ,故 bn=−1n+1n, Tn=k=1n−1k+1k .
在区间 0,1 上设 Fx=x−x22+x33−⋯−x2n2n−ln1+x . (12 分)
则 F′x=1−x+x2−⋯−x2n−1−11+x=1−x2n1+x−11+x=−x2n1+xln2 . (16 分)
综上, T2n